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Fassen wir schliesslich noch die geometrische Bedeutung der in der Gleichung(6 a) der Ellipse enthaltenen Grössen ins Auge, so lernen wir die kleinste Ellipse noch als einen geometrischen Ort von einfacher Art kennen.

Die Grössen l, 4.½, 43, a in der Gleichung(6 a) sind die negativen senkrechten Abstände eines Ellipsenpunktes von den entsprechenden Seiten des Parallelogramms; die Differenzen(ri— ra) und(ra— ra) sind den Höhen des Parallelogrammes, und zwar die erstere der auf al und aa, die zweite der auf x und a senkrechten Höhe, gleich. Schreiben wir die Gleichung der Ellipse in der Form

611 13₰(ra— ra)2+† 2 ₰(ri— rz)²= 0, so folgt demnach:

Die kleinste Ellipse, welche einem Parallelogramm umbe- schrieben werden kann, ist der geometrische Ort der Punkte, für welche die Produkte des Rechtecks aus ihren Abständen von zwei Gegenseiten des Parallelogramms in das Quadrat des Ab- standes der beiden andern Gegenseiten von einander, eine nur durch die Vorzeichen verschiedene Grösse haben.

Oder gemäs der Form

—.1. Ca. er Al(I 13292. 42,4—(ra=)

Bewegt sich ein Punktso, dass sich das Rechteck aus seinen Abständen von zwei parallelen Geraden zu dem Rechteck aus seinen Abständen vonzwei andern Parallelenstets wie das(nega- tive) Quadrat des senkrechten Abstandes der beiden ersten Ge- raden zu dem Quadrat des senkrechten Abstandes der beiden anderen Geraden verhält, so beschreibt der Punkt die kleinste Ellipse, welche sich durch die vier Schnittpunkte der parallelen Geraden legen lässt.

Der letzte Satz führt uns zu einer Konstruktion der Ellipse kleinsten Flächeninhaltes, die sich um irgend ein gegebenes Parallelogramm beschreiben lässt.

Sei das eine Paar Gegenseiten eines Parallelogrammes g, und gs, das andere ge und ga, so ziehe man eine beliebige Parallele zu einer der Seiten des Parallelogrammes, Z. B. eine Gerade(p) parallel zug, und gz. Die Abstände eines Punktes dieser Parallelen von g. und g, seien u und v. Dann suche man zu u und v die mittlere geometrische Proportionale (m,) und hierauf die vierte Proportionale zu m., h, und ha,(wenn man die zu g, und g. gehörige Höhe des Parallelogramms mit h., die andere Höhe mit ha bezeichnet), so dass die Proportion

me2. m.— he: h. besteht. Es ist jetzt der geometrische Ort desjenigen Punktes zu bestimmen, für welchen