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Da diese Gleichung mit der durch die beiden Eckpunkte(al α4) und( 13) des Parallelogramms gehenden Diagonale identisch ist, so folgt, dass die Tangenten der Ellipse in den Ecken des Parallelogramms den gegenüberliegenden Diagonalen des Parallelogramms parallel sind.

Ein interessantes Ergebnis liefert ein Vergleich des Flächeninhaltes der Ellipse mit dem des Parallelogramms. Die oben angegebene Formel für den Flächeninhalt der Ellipse geht nach Substitution des für* gefundenen Wertes in

2— 1 2(r.— 12)2(rz=.): (S) e ue P Ta.(p. d. e Ihe über. Bezeichnet man den Inhalt des Parallelogramms mit f, so besteht, wie man leicht findet, die Relation

G). f==(Ti,— re)e(l2.— 1.⸗)⸗

(p. de— pa 44)2 Aus den beiden letzten Gleichungen folgt demnach

(10).. F: I=„ 1,

d. h. die Inhalte der Parallelogramme stehen in einem konstanten Ver- nältnis zu den Inh alten der kleinsten ihnen umbeschriebenen Ellipsen.— Man findet die Grösse der letzteren, wenn man den Inhalt desParallelo-

gramms m i t 2 multipliciert.— Die kleinsten Ellipsen aller gleich

grossen Parallelogramme sind einander gleich.

Die kleinste Ellipse eines Parallelogrammes ist halb so gross als diejenige Ellipse, welche eine Seite des Parallelogramms und die zuge- hörige Höhe zu Haupt-Halbaxen hat.

Die Gleichung(10) enthält zugleich die Relation zwischen den Inhalten einer Ellipse und eines eingeschriebenen grössten Parallelogramms.

In dein speciellen Fall, wo die Gleichung

(r— r.)²=(rz— ra)2² besteht, ist X= und die Gleichung der Ellipse 711 13,+ 12 74— 0. Das Parallelogramm ist dann gleichseitig und seine Diagonalen sind die Hauptaxen der Ellipse.

Ist das Parallelogramm ein Quadrat, so bestehen ausser der Bedingung

(r.— r.) 2=(ra— ra)² noch die beiden andern bI 2+ P2 2= 41 2 †+ da ² und p. d. pa— 0.

Dadurch werden aber die Koefficienten von x² und yz in der Gleichung(3) einander gleich, während das zweite Glied verschwindet, und wir erkennen, dass der Kreis die kleinste Ellipse ist, die sich einem Quadrat umschreiben lässt.