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lichen Reſte(Zähler der ächten Brüche) aufgehn müſſe. Dieſe höchſte Zahl iſt nun, wenn der Nenner eine Primzahl p iſt, immer p— 1. Iſt aber der Nenner zuſammengeſetzt, ſo fällt dieſe Zahl geringer aus, weil alle die Reſte(oder möglichen Zähler) wegfallen, die einen Factor mit dem Nenner gemein haben. So fallen für den Nenner 21= 3. 7, z. B. alle Zähler, welche 3 oder 7 enthalten, weg; alſo 3,6, 9, 12, 15, 18, ſo wie 7, 14. Statt der möglichen 20 haben wir alſo, da die vorſtehenden 8 ausfallen, nur 12 3⸗ und 7freie. Wir wollen daher jetzt dieſe wirkliche An⸗ zahl brauchbarer Zähler— die wir N nennen wollen— zu beſtimmen ſuchen.

Enthält der Nenner n mehrere Primzahlen, z. B. Dreien, Fünfen, Siebenen(wie z. B. der Nenner 105, 315, 525 u. ſ. w.), ſo ſcheiden wir aus der Reihe der natürlichen Zahlen bis zum Nenner nach und nach die, welche eine erſte, dann die, welche eine 2te Primzahl ꝛc enthalten, aus;

z. B. 1) die, welche 7 enthalten, d. h. die Zahlen 7, 14, 21, 28.. n; 2) ferner die 3 Zahlen, welche 5 enthalten, alſo 5, 10, 15, 20,.... n, oder 5.(1, 2, 3,...—+).— Nur müſſen wir davon diejenigen abrechnen, welche zugleich 7 enthal⸗ ten, wie 35, 70, 105; weil dieſe ſchon unter 1) ausgeſchieden ſind, deren ſind es offenbar,

3) die 4 Zhaltigen Zahlen 6, 3, 9, 12 ꝛc. Davon gehen ab, die, welche außer 3 noch 7 und die, welche außer 3 auch noch 5 enthalten, weil ſie unter 1) und 2) ſchon abgerechnet ſind,

der erſteren ſind es offenbar zun, der letzteren 8

Nun ſind aber die 7⸗ u. 5⸗ u. Zhaltigen, wie 105 ꝛc., unter 1), 2) und 3) dreimal ausgeſchieden, und unter 2) einmal, unter 3) zweimal, d. h. dreimal wieder ausgenommen, müſſen alſo wieder einmal als auszuſcheiden angeſetzt werden; ihrer ſind es 333.7.

Rechnen wir das alles zuſammen, ſo ſind auszuſcheiden:

nI n n I n II n

,. übrig bleiben alſo:

1 1 1 1 1. 1 1

n=— n.(7 † 5 4 5—= 7.5= 7.3— 5.3+† 7.52)

So könnten wir in jedem Falle uns die auszuſcheidenden und alſo übrigbleibenden, d. h. die Zahl N verſchaffen, bekämen aber noch keine alle Fälle umfaſſende Regele), daher wir lieber einen andern, eine ſolche allgemeine Regel liefernden, Weg einſchlagen wollen:

Der Thaltigen Zahlen von 1 bis n waren es, wie wir oben ſahen, 1. n.

Scheiden wir dieſes eine Siebtel von n aus, ſo bleiben 21 n übrig, welche keine 7 mehr enthalten, alſo 7 frei ſind. Von dieſen gebliebenen 7 n wollen wir nun die 5haltigen entfernen. Wie viele deren ſind,

*) Letzterer Ausdruck läßt ſich zwar in die kürzere und überſichtliche Form n(7— ¹)(5— 1)(3- ¹) 7. 5. 3 bringen, wie wir leicht etwa durch Nachrechnen prüfen könnten, gibt uns aber keine Ueberzeugung von einem allge⸗ meinen Geſetz.