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4, 16, 16 zc. ſind— ſo ſehen wir, daß, wenn auch der urſprüngliche Zähler keinen Factor mit dem Nenner gemein hat, doch die folgenden Reſte deren enthalten. Daß dies nothwendig ſo ſein muß, ſehen wir leicht ſo: Durch Anhängen einer Null bekommt der Zähler den Factor 10 d. h. 2.5. Man dividirt alſo in eine ganze Anzahl von Zwei(Fünf), d. h. man zieht davon ein Vielfaches des Nenners, alſo auch eine ganze Anzahl von Zwei(Fünf) ab, weshalb eine ganze Anzahl von Zwei(Fünf) übrig bleiben muß, d. h. der 1ſte Reſt muß den Factor 2(reſp. 5) enthalten.

Vor der neuen Diviſion mit dem Nenner in dieſen 1ſten Reſt könnte man dieſen Factor erſt wegheben. Enthält nun der ſo entſtandene neue Nenner noch eine Zwei(Fünf), ſo bekommt der 2te Reſt ganz eben ſo, wie oben der 1ſte, wiederum den Factor Zwei(Fünf). Hätte man aber vor der zweiten Diviſion nicht aufgehoben, ſo hätte nun der 2te Reſt mit dem Nenner den Factor 2.2(reſp. 5.5) gemein. So überzeugt man ſich alſo bald

(17) Hat der Nenner den Factor 2, ſo hatder iſte Reſt den Factor 2,

„„ 2 te„„„ 28,

„„ 3te„„„ 2, und ſo fort, bis der pte Reſt den Factor 2 mit dem Nenner gemein hat, der nun auch bei der fortgeſetzten Diviſion, welche die(reine) Periode liefert, bleibt.

Mit 5 iſt derſelbe Fall wie mit 2, und hat der Nenner Zweien und Fünfen, ſo bekommt jeder folgende Reſt eine Zwei und eine Fünf mehr bis zur höchſten Anzahl im Nenner, welche dann bleibt.

Daß man practiſch wohl thut, jedesmal dieſe neuen Factoren gleich zu beſeitigen, um kleinere Zahlen zu bekommen, verſteht ſich von ſelbſt.

§. 18.

(18) Enthält aber der Nenner keine 2 oder 5(alſo auch im vorigen Falle, nach⸗ dem alle Zweien und Fünfen beſeitigt ſind, beim Beginn der Bildung der Periode) ſo hat kein Reſt mit dem Nenner einen gemeinſchaftlichen Theiler.

Stellen wir uns nämlich den Anfang einer Diviſion von n in 2. 10 vor:

2. 10 a 1.. Il — ſo ſehen wir, daß ra.n= 2. 10 ſein muß. Gäbe es alſo für den erſten Reſt und den Nenner n einen gemeinſamen Factor, ſo wäre r und n, alſo auch a.n, alſo auch r. n ein Vielfaches die⸗ ſes Factors. Alſo müßte auch 2.10 eine ganze Anzahl von dieſem Factor ſein. Da aber 10 nur 2 und 5, und 2, das keinen Factor mit n gemein hat, dieſen Factor auch nicht enthält, ſo iſt dies nicht möglich. Der erſte Reſt hat alſo keinen Factor mit dem Nenner gemein.— Bei fortgeſetzter Diviſion tritt nun r an die Stelle von z und wir ſchließen ſo, daß auch der 2te Reſt u. ſ. w., daß kein einziger Reſt einen Factor mit dem Nenner gemein habe.

Anzahl der Reſte, möglichen Zähler.

§. 19.. Wir ſahen oben(10), daß die Anzahl der Periodenziffern in der höchſten Aizahl der mög⸗

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