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erfahren wir ſo: Von 1 bis n gibt es offenbar die in öhaltigen Zahlen(1, 2, 3.. 5. 5. Unter dieſen Zahlen ſind aber auch noch 7haltige, welche oben ſchon ausgeſchieden ſind, ſo daß als neu auszuſcheidende nur die 7freien unter den In 5haltigen entfernt werden

dürfen. Wenn aber unter den n auf einander folgenden Zahlen 1 bis n En:frei ſind, ſo ſind

1 6 unter den hen Zahlen 1, 2, 3...* alſo auch unter den Zahlen(1, 2,3..2). 5 7.(40) 4„ 1 6 :freie. Da aber dieſe Anzahl 4 von dn auch übereinſtimmt mit 4 von 7 n, ſo erſehen wir, daß ein Fünftel der 7freien Zahlen noch 5haltig, alſo vier Fünftel der Tfreien Zahlen auch öfrei ſind. Von den n auf einander folgenden Zahlen 1... n ſind alſo 27.n Zahlen 7⸗ und 5frei. Von dieſen gebliebenen ſind nun noch die Zhaltigen ausznſcheiden.

Von 1 bis n gibt es wieder In Zhaltige, darunter ſind aber noch 7⸗ und 5haltige, die ſchon oben ausgeſchieden ſind. Es dürfen nur die 7⸗ und 5freien der Zhaltigen neu entfernt werden. Aber 7⸗ und 5 freie giübt es offenbar ſo viele, als in der Reihe 1, 2, 3..2, alſo

auch in(1, 2, 3...—). 3, deren enthalten ſind, d. h. nach vorſtehenden Ueberlegungen: 4 6 n. 1( 4 6— (2. Z. Da dieſe Anzahl aber auch mit 3 von Ls-*)nübereinſtimmt, ſo gibt

es in den noch gebliebenen 8.n Zahlen ein Drittel Zhaltige, alſo zwei Drittel 3zfreie. Die

Anzahl der 7⸗ und 5⸗ und 3freien Zahlen iſt alſo 4 3 9 n.

(19) Man ſieht daher, um unſere Zahl Nzu finden, hat man die Zahln mit einem Product von Brüchen zumultiplieiren, deren Nennerdie einzelnen verſchiedenenin n enthaltenen Primzahlen ſind, während die Zähler bezie⸗ hungsweiſe allemalum 1 kleiner ſind, als die betreffenden Nenner.

So erhält man z. B. für 21—= 3.7 N—= 12— 3.* 21 210——— 1.24. 210= 2.3.5.7 N= 48=+.. 3. 7. 210 „ 63= 3.3.7 N= 36= 2. 6. 63.

Man ſieht leicht:

1) die Zahl N wird, da die Zähler(außer für den Factor 2 des Nenners, wo er aber= 1 würe) alle gerade ſind, immer eine gerade Zahl;

2) iſt n eine Primzahl, ſo wird N= n= 1;

3) Kommt jede Primzahl nur einmal vor, ſo wird N=(3— 1).(5— 1).(7— 1) für n= 3. 5. 7..;

4) hat der Nenner eine Primzahl mehrmals als Factor, wie z. B. 63= 3.3. 7 und nimmt man blos die verſchiedenen Factoren 3.7= 21 heraus, ſo bekommt man 63= 3. 21, und N wird 3 mal ſo groß als für 21. Die N Zahlen zerfallen gleichſam in 3 Gruppen, jede wie für 21; die erſte Gruppe hält die Zahlen von 1 bis... 21,

„ zweite„„„ 5„ 21+ 1 bis 21+ 21, „ dritte„„„„„ 42+ 1„ 42 5. 21,