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„Allgemein findet ſich alſo: Geht p in die Periode, die 5 gibt, auf und dann weiter auch noch in die Periode, die e gibt u. ſ. w., geht alſo zuerſt p nicht mehr auf in die Periode, die z. B. asgibt, ſo fängt erſt von da das Geſetz an, daß jede folgende Potenz der Primzahl eine p mal ſo viel ſtellige Periode liefert, als die vorhergehende.

So hat z. B.— die Periode 0,3... dieſe iſt lziffrig,

1„„ 0,1... dieie iſt auch 1ziffrig,

weil 3 in die Periode, die 4 gibt, aufgeht. Da aber nun 3 nicht mehr in die Periode von-⸗ auf⸗ geht, ſo wird die Periode für

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3 nur 31 mal zziffrig,

5„ 3 mal lziffrig,

3.„ 3 mal lziffrig u. ſ. w.

Man hat alſo— allgemeiner als(13).

(13⁰) Geht von irgend einer Potenz einer Primzahl an die Periode der⸗ ſelben nichtmehr durch die Primzahl auf, ſo hat die Periode jeder folgenden Potenzpmal ſoviel Ziffern als die vorhergehende.

3) Der Uenner des Vruchs iſt zuſammengeſetzt(Produck) aus mehreren ver- ſchiedenen Primzahlen oder Potenzen von Prinzahlen. § 13. 1.

Wir nehmen z. B. pf— e Da eine 2⸗ oder 4⸗ oder 6⸗ oder 8ziffrige Periode liefert, ſo geht 11 auf in 99 oder 99 99 oder 99 99 99...

Ebenſo gibt— eine 3⸗ oder 6⸗ oder 9⸗ oder 12ziffrige Periode, d. h. es geht 37 auf in 999... 999 999 oder 999 999 999..., alſo 11.37 ſchon in das kleinſte gemeinſchaftliche Viel⸗ fache der Anzahl Neunen, die Neunerzahl, in welcher beide Nenner aufgehn; hier in 999 999.

So wird man leicht einſehen 3

(14) Iſt der Nenner zuſammengeſetzt aus einzelnen Primzahlen oder Po⸗ tenzen von Primzahlen, ſo liefert er eine ſo viel ziffrige Periode als das kleinſte gemeinſchaftliche Vielfache der Periodenſtellenzahlen ſeiner einzel⸗ nen Beſtandtheile beträgt.

§ 14. Jetzt ſind wir im Stande, folgende Aufgabenarten zu löſen: I. Wir ſuchen einen gemeinen Bruch, der in einen Decimalbruch verwandelt liefere 1) einen geſchloſſenen Decimalbruch von 3 Stellen. Der Nenner darf nach(1) u.(2) nur Zweien oder Fünfen enthalten und zwar muß die höchſte Anzahl der Factoren einer Art 3 ſein. Der Zähler beliebig, nur keinen Factor des Nenners enthaltend, deren dieſer 3 hat;