— 13—

Es handelt ſich alſo jetzt noch darum, wie viel ſolcher Reſte man zuſammenzählen muß, um eine ganze Anzahl von p zu bekommen. Dann weiß man, wie viel Perioden man mindeſtens hinter einander zu ſtellen hat, damit p darin aufgehe. Es fragt ſich alſo, wie groß muß x minde⸗ ſtens ſein, wenn X. x durch p aufgehen, d. h. der Bruch e eine ganze Zahl werden ſoll. Man ſieht bald, weil x keinen Factor mit der Primzahl p gemein hat, daß p ganz in x enthalten ſein, x alſo wenigſtens= bſein müſſe.*) Daher wird man wenigſtens p Perioden hinter einander nehmen müſſen, bis p darin aufgeht. So ergiübt ſich alſo:

(13) Iſt der Nenner eines Bruchs p'= der zweiten Potenzeiner Prim⸗ zahl p und gehtpin eine Periode für 1 auf, ſo iſt die Stellenzahl der Pe⸗ riode für 4 durch p auf, ſo hat die Periode für 8 p mal ſo viel Ziffern als die für †.

So hat z. B.+ eine öſtellige Periode, da aber 7 in dieſe Periode nicht aufgeht, ſo be⸗

kommt— eine 7 mal 6⸗ oder 42ſtellige Periode. Sehen wir nun zu, wie viel Periodenſtellen die höheren Potenzen von p in dieſem Falle liefern.— Geht p nicht auf in die Periode, die gibt, ſo geht natürlich auch p', pe... nicht darin auf. Dann ergibt ſich durch dieſelben Schlüſſe(wenn man nur p', p'... an die Stelle von

p ſetzt),**), daß man po, pPo.. Perioden von* aneinanderreihen müſſe, bis p', p'... in dieſe neue

ebenſo groß wie die für 1. Geht aber die Periode für d nicht

. 1— 1. 1„„ pr r 1 1.1 Zahl aufgeht; daß alſo dann Fw eine p' mal, ebenſo 54= p p eine p' mal ſo

viel ziffrige Periode bekommen muß, als 5 u. ſ. f. A 1„ So gibt alſo* eine Periode von 6 Stellen, 1— 1 49— 7„„„ 7.6... 1

3 7.7.6...

3143— 7 1 1 2101— 7„ 7. 7.7.6.. u. f. w.

*) Wünſchen wir uns darüber noch ſtrengere Rechenſchaft zu geben, ſo ſtellen wir uns die Frage: wie X beſchaffen ſein müſſe, um mit x multiplicirt ein durch p theilbares Product zu geben. Wir dividiren das kleinere r in p. Dies geht a mal und bleibt nothwendig ein Reſter, der aber kleiner iſt als r. Nun haben wir die Be⸗

ziehung a.r+† r= p. Multipliciren wir dieſe Gleichung mit d, ſo gibt es a 2—+ r B. Die rechte Seite iſt nun eine ganze Zahl, alſo muß auch die linke, und da alſo auch a 8— eine

X

ganze Zahl ſein ſoll, auch r S eine ſolche ſein, d. h wenn x mal X eine ganze Zahl gibt, ſo gibt daſſelbe x auch mit r, einer noch kleineren Zahl, als r iſt, ein durch p theilbares Product. So fortgeſchloſſen muß endlich auch xX 1, d. h. X ſelbſt eine durch p theilbare Zahl ſein, d. h. x wenigſtens 1 mal p ſein.

*⸗) Wenn bei der Diviſion von P,(der Periode von 1.) mit p ein Reſt r bleibt, ſo kann man wieder fragen, wie groß das x ſein müſſe, was r.... zur ganzen Zahl mache, und es ergibt ſich wieder, weil r mit pe, ps... keinen Factor gemein hat, daß x wenigſtens p reſp. p*... ſein müſſee.