— 12—
bedingt 239 und 4649 weſentlich eine Iziffrige Periode „ 73„ 137„„ 8„„ 9 333667„„ 9„„ „ 9091„„„ 10„„ „ 9901„„„ 12„„
2) Der Uenner des Druchs iſt eine Potenz einer Prinzahl.
§. 13 Sei der Nenner zunächſt die 2te Potenz einer Primzahl, ſo kann man den Bruch
. 1 71. 1 1 1 — trennen in f(-); alſo den Decimabr., den(p) gibt, nochmals mit p dividiren. Dabei
kann nun 1 1 ¹) die Periode ſich ohne Reſt durch p dividiren laſſen, wie z. B. bei A. 10,33.. — 0, 111..
Dann iſt die Stellenzahl des Bruchs Woffenbar eben ſo groß als die des Bruchs n — 1—... 1 2) die Periode, die... liefert, iſt nicht weiter durch p theilbar; ſo iſt z. B. für 49=—
— 0, 142857... die Periode P durch 7 nicht mehr theilbar.
7.7—
Da aber— nicht blos ſondern 4uch=S Sg u ſ.w. iſt, ſo wird man mehrre Perioden neben einander als Zähler betrachten können, um mit p hinein zu dividiren, bis es auf⸗, geht. Es fragt ſich dann nur, wieviel Perioden man zuſammenſtellen muß, bis eine Zahl ent⸗ ſteht, die durch p theilbar iſt.
Wenn p in P dividirt einen Reſter läßt, ſo wollen wir zunächſt zuſehen, welchen Reſt p in zwei hinter einander geſtellte Perioden, in PP, läßt. Hat P z. B. 6 Stellen, ſo ſtellt PP die Zahl P. 1000000+ P vor, welche wir trennen können in P. 999999+ P+ P. Da nun p in die Neunerzahl ohne Reſt aufgeht, d. h. da die Neunerzahl eine ganze Anzahl von malen das p enthält, ſo iſt auch das Pfache der Neunerzahl eine ganze Anzahl von p. Es handelt ſich alſo blos noch darum, welchen Reſt p in PP läßt. Ein P iſt nun eine ganze Anzahl von p und läßt 1. r übrig; alſo ſind zwei P auch wieder eine ganze Anzahl von p und bleiben zwei r übrig. Stellt man alſo 2 Perioden zuſammen, ſo bleibt bei der Diviſion von p in dieſe Zahl der 2fache Reſt. Drei Perioden zuſammengenommen läßt ſich trennen in PP. 1000 000+ P oder PP. 999999+ PPP. Davon iſt nun wieder der erſte Theil eine ganze Anzahl von p, weil 999 999, alſo auch das PP⸗ fache davon eine ganze Anzahl p enthält. Der zweite Theil PP enthält, wie wir eben geſehen haben, außer einer Anzahl von vollen p noch 2.1 und der dritte Theil P beſteht auch aus einer Anzahl p und 1, r. Zuſammen alſo enthalten 3 Perioden hinter einander geſtellt als Zahl eine Anzahl voller p und 3 r.
So kann man weiter ſchließen und findet: Stellt man 2, 3, 4, 5 u. ſ. w. Perioden hinter einander als Zahl zuſammen und dividirt p hinein, ſo kann man dieſe Zahl trennen in eine große Anzahl ganzer p und 2, 3, 4, 5 mal den Reſt, den p in eine Periode dividirt läßt.