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Iſt aber der Nenner zuſammengeſetzt, ſo fällt die höchſt mögliche Anzahl verſchiedener Reſte (die wir ſpäter N nennen werden) geringer aus, indem nur die gerechnet werden können, welche mit dem Nenner keinen Theiler gemein haben, d. h. relative Primzahlen zu ihm ſind; z. B. für den Nenner 27 können nicht 26 verſchiedene Reſte vorkommen, ſondern, weil a/ 27 c. als aufhebbar weg⸗ fallen, nur 18. § 11. (11) Wieviel Ziffern die Periode wirklich hat, mußaber für jede Prim⸗ zahl beſonders geſucht werden, ein Geſetz(wenn es exittirt) iſt bis jetzt nicht bekannt. Man kann wohl durch Kunſtgriffe ſchneller zum Ziel kommen, als durch einfaches Divi⸗ diren, dies intereſſirt uns aber nicht; wir denken uns, wir dividiren jede Primzahl in die aufeinander folgenden Zehnzahlen, bis wieder 1 als Reſt erſcheint.— Dadurch erfahren wir die kleinſte Zehn⸗ zahl, in welche dividirt, die Primzahl 1 zum Reſt läßt, mithin auch, wenn wir dieſe 1 davon wegnehmen, die kleinſte Neunerzahl, in welche die fragliche Primzahl auf geht, und deren Ziffern⸗ zahl mit der Periodenzifferzahl übereinſtimmt. § 12. Wollen wir jetzt umgekehrt wiſſen, welche Primzahlen eine 1⸗, 2-⸗, 3⸗ u. ſ. w. ziffrige Periode geben, ſo ſind es diejenigen, die in der 1⸗, 2⸗, 3⸗ u. ſ. w. ziffrigen Neunerzahl aufgehn; daher es von hohem Intereſſe iſt, dieſe Neunerzahl in ihre Factoren zu zerlegen. Wir finden ſo
1 9= 3.3
II 905— 11
III 999.3. 37
IN 9999 11 3 101
N 99999. 271
VI 999999 VII 9999999 9
239 4649 VIII 9999999 11. 73.101. 137
IX 999999999 3.3. 37. 333667 X 9999999999 11.41. 271 9091
XII 999999999999= 3.3. 3. 7. 11.13.37. 101. 9901 Von dieſen Primzahlen geben einige eine kleinere Anzahl von Periodenziffern, aber auch allemal eine ebenſo große als dr Neunerzahl Stellen hat, wenn man nur mehrere Perioden, zuſam⸗ men, als eine nimmt; ſo z. B. gibt 11 eine zweiziffrige, aber wenn man will, auch vier⸗ oder ſechs⸗ oder achtziffrige ꝛc.; 37 eine 5. aber auch 6⸗, 9⸗, 12- ꝛc. ziffrige. (12) Für jede Neunerzahl abergibt es eine oder mehrerecharacteriſtiſche Primzahlen, die als Nenner weſentlich eine Periode vonder beſtimmten Zif⸗ fernzahl bedingen. Es ſind das diejenigen, die in keiner kleineren Neunerzahl aufgehn; ſo
.3.
.3
.3.
.3. 41 .3 3. 7.11.13.37 .3.
3.
3.3
3.
L Ktinnn
SeSr es eoene S de de
bedingt 3 weſentlich eine lziffrige Periode „ 11„„ 2„„ 4 37„„ 3„„ „ 101„„ 4„„ „ 41 und 271„„ 5„„ „ 7„ 13„„ 6„„