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in welche nach der Reihe dividirt wird. Gibt z. B.* die Periode 142857.... ſo 2 285714. 4 428571.. 4 571428.. 2 714285. 1 857142..
Kurz ſtellt man dieſe Reſultate ſo zuſammen: Nenner 7; Reſt⸗ oder Zählerreihe: 1 3 2 6 4 5 1 326 45. Periode 1 4 2 8 5 7 1 42 8 5 7 ſo daß für einen beſtimmten Zähler der Reſtreihe die(hier 6ziffrige) Periode mit der Zahl beginnt, die unter dieſem Zähler ſteht. Ueberſichtlicher noch laſſen ſie ſich in 2 Kreiſe zuſammen ſtellen, im Mittel⸗ punkt etwa den Nenner, im nächſten Kreiſe die Zähler, im tußerſten die Periodenziffern. Hat die Periode aber weniger Ziffern als ſie haben könnte, ſo kommen bei Bildung einer Periode nicht alle Reſte vor, z. B. bei t. nur 6, und zwar ähnlich zuſammengeſtellt wie oben A) 13 Reſtreihe 1 10 9 2 3 4..... Periode 0 7 6 9 2 3... Dividirt man aber 13 in einen Zähler, der in dieſer Reſtreihe noch nicht enthalten iſt, ſo erhält man
B) Reſtreihe 2 7 5 11 6 8 Periode 1 53 846
Daß es für die Reſtreihe und Periode in B hier ebenſo, wie für A, wieder 6 Reſte und zwar durchweg andere geben müſſe, ſieht man leicht. Denn der Nenner 13 bedingt weſentlich eine öziffrige Periode, alſo gehören dazu auch 6 Reſte; kein Reſt von dieſen kann aber einem unter A gleich ſein, weil ſonſt von da an die Periode ſo fortgehen würde wie unter A, und die frühern Stellen als Vorperiode erſcheinen würden..
Hatte man beim Nenner 13 zwei Gruppen von zuſammen gehörigen Reſtreihen und Pe⸗ rioden, ſo hat man z. B. für den Nenner 41 deren 8, in jeder 5 verſchiedene Reſte mit je 5ziffriger Periode A) 41 Reſtr. 1 10 18 16 37.....
Periode o 2 4 3 9......
n Reſtr. 2 20 36 32 33.... ) Per. 0 4 83 7 8.....
Reſtr. 3 30 13 7 29.... 0) Per. 0 7 3 1 7.... u. ſ. f.
Man ſieht leicht, daß wenn weniger Ziffern in der Periode vorkommen, als höchſtens vor⸗ kommen könnten, ihre Anzahl ſo beſchaffen ſein muß, daß ſich alle Reſte in Gruppen von dieſer ſelbigen Anzahl theilen können, d. h.
(10) Die wirkliche Anzahl der Periodenziffern muß imner in die höchſt mögliche Anzahl verſchiedener Reſte aufgehn. 1
Iſt der Nenner wie hier eine Primzahl p, ſo iſt die höchſt mögliche Anzahl der Reſte p— 1; daher fanden wir oben(§ 10) die wirkliche Stellenzahl der Periode immer in der Zahl p—l ohne Reſt enthalten.