1 Period. 4 z64 Iſt z. B. 1== Pariede, wie wir in(7) geſehen, ſo muß eine ganze Zahl exiſtiren,

1. d. mit welcher 7 erweitert Periöe. gibt, d. h. der Nenner 7 muß in 999 999 aufgehn. Jedenfalls iſt nun dieſe Neunerzahl(mit ſechs Neunen) die kleinſte ſolche Neunerzahl, in welche 7 aufgeht, ſonſt würde

1 3— 2, 3, 4 4 7 eine Periode von geringerer Stellenzahl gegeben haben. Könnte daher 7, c. eine

Periode von weniger Ziffern geben, ſo müßte da für 7 in eine kleinere Neunerzahl aufgehn, was natürlich unmöglich iſt. 3 .§. 9.

Da alſo die Stellenzahl der Periode nur vom Nenner abhängt, ſo brauchen wir blos dieſen näher ins Auge zu faſſen und können der Einfachheit wegen als Zähler uns meiſt 1 denken. Da ferner die Factoren 2 und 5 nur die Vorperiode bedingen und die wirkliche Periode unberührt laſſen, ſo können wir überhaupt jetzt nur 2⸗ und 5freie Nenner, alſo reinperiodiſche Decimalbrüche, betrachten. Da bieten ſich uns denn zunächſt folgende Fälle zur weiteren Unterſuchung dar:

1) der Nenner iſt nur eine einfache Primzahl, 2)„„„ eine Potenz einer Primzahl, 3)„„„ ein Product aus Potenzen mehrerer Primzahlen.

§. 10. 1) Der Uenner des Druchs iſt nur eine einfache Prinzahl.

Verwandeln wir die Brüche e ꝛc. in Decimalbrüche, ſo finden wir(§ 4.3):

7 11 13 es könnte der Nenner 3 bedingen 2 periodiſche Stellen, hat wirklich 1 „„ 47 6.„„. 6 „„ 11 10„ 2 1 2 14„ 13 12 I„ 6 „„ 17 16 7„„„ 16 „„ 19 18„„ 7„ 18 „„ 23 22 1 7 4 49 22 .„ 29 28„„„„ 28 .„ 31 30„„ 7„ 15 „„ 37 36„„„„ 3 „„ 41 40 7„ 5 „ P pP 1„„„ 2(2)

Zunächſt ſehen wir alſo: (9) gede Primzahl bedingt ihre eigene beſtimmte Anzahl von Perioden⸗

ziffern.— Liefert der Bruch ſo viel Stellen, als er wirklich haben kann, z. B. beim Nenner 7, ſo

kommen bei Bildung einer Periode ſchon alle möglichen Reſte vor, bei 7 z. B. 1, 3,2,6, 4, 5, 2