1 459 So wird z. B. 0,459 459.— 2999

45944 4590

0, 4 594 594..

2 3459—3 3456 ähnlich 0, 3 459 459— 9990 6657—— 9990

34594— 34 34560

0, 34 594 594..=—=59500= 99000

Eigenſchaften der Perioden. Anzahl der Periodenziffern. §. 8.

Verwandelt man nach der Reihe †, 2, 5, in einen Decimalbruch, ſo erhält man ſtets eine Gziffrige Periode, bei 24 2...... ſtets eine 2ziffrige, bei 37, 2,... ſtets eine 3ziffrige. Es ſcheint alſo, als wenn die Zifferzahl der Periode nur vom Nenner abhänge.

In der That, gibt z. B. eine Periode, 8 muß offenbar der Werth von 2, 2 rc. da⸗

durch gefunden werden, daß man den Derinultra aus 4 mit 2, 3 ꝛc. multiplicirt. Zieht man nun blos ächte Brüche in Betracht(wie es nach§. 2. 1, nur nöthig iſt) ſo iſt ein Multiplicator kleiner als der Nenner— bein alſo höchſtens 6; die multiplicirte Periode iſt alſo kleiner als 1,

daher kann das Product der vorderſten Ziffer nicht in eine vorhergehende Periode hineinragen, alſo bilden alle Vielfachen einer Periode wieder ſolche Perioden, jede für ſich, mit derſelben Anzahl von Ziffern, z. B. 0, 142857 142857 142857.. mit 6 multiplicirt

=—= 0, 857142 857142 857142.

— Aber auch bei unächten Brüchen ſieht man auf dieſe Weiſe leicht ſich eine gleichziffrige Periode bilden, denn wenn auch ein Ueberſchuß aus einer Periode in die vorhergehende ragt, ſo widerfährt jeder folgenden daſſelbe, weil jede eben noch eine folgende hat; z. B. ragt

1285713 9 1285713 für 7= 1, 285713 aus jeder Periode eine 1 in die vorhergehende.— Mehr Ziffern kann alſo eine Periode nicht bekommen, wenn der Zähler größer wird— vielleicht aber weniger? Bei 3 Biſt die Periode 037 037.. 3ziffrig; bei 5 wird ſie 111 111., alſo wenn man wil lziffrig; ſie iſt aber auch nng 3ziffrig. Die Urſache iſt, wie

leicht zu ſehen, weil aufgehoben 3— iſt, alſo hier weſentlich ein anderer Nenner ins Spiel tritt.

(8) Iſt daher der Nenner weſentiich, d. h. läßt der Bruch ſich nicht heben, ſo geben alle Brüche, die denſelben Nenner haben, dieſelbe Anzahl von Pe⸗ riodenziffern; die Stellenzahl der Periode iſt nur abhängig vom Nenner.

Von dieſer Wahrheit können wir uns auch noch auf einem andern Wege überzeugen, der uns zugleich eine offene Ausſicht für weitere Erkenntniß zeigt.