So wird z. B.: 45—— 5 erſt mit 100 multiplicirt=7. 35— 53,571428....

dies mit 100 dividirt 0,53,571428..... 3= n mit 10 multiplicrt— 7= 0,285714...... dann mit 10 dividirt= 0, 0 285714..

(5) Enthält der Nenner außer andern Primzahlenauch Zweien oder Fün⸗ fen, ſo wird der Decimalbruch unreinperiodiſch, und zwar erhält die Vor⸗ periode ſoviel Ziffern, als die höchſte Anzahl der Zweien oder Fünfen im Nenner beträgt.

(6) Die Factoren 2 oder 5 im Nenner bilden nur die Vorperiode und haben keinen Einfluß auf die Periode ſelbſt. Die Periode entſteht durch an⸗ dere Primzahlen und dieſe ſind wieder ohne Einfluß auf die Vorperiode.

Verwandlung periodiſcher Decimalbrüche in gemeine. §. 7.

Bietet auch die Verwandlung eines geſchloſſenen Decimalbruchs in einen gemeinen nicht die geringſte Schwierigkeit, da man ihn blos als gemeinen zu ſchreiben— und etwa noch zu heben— braucht, ſo verlangt die Verwandlung eines periodiſchen Decimalbruchs doch eine eigene zum Ziele führende Betrachtung. Ein bekannter Kunſtgriff, um die endloſe Reihe der pe⸗ riodiſchen Stellen aus der Rechnung zu bringen, beſteht darin, daß man ſich zwei Vielfache des Bruchs verſchafft, die von einander abgezogen, jene endloſe Reihe Ziffer für Ziffer vernichten. Dieſe Viel⸗ fachen müſſen natürlich ſo beſchaffen ſein, daß hinter dem Komma in beiden gerade eine Periode be⸗ ginnt, damit bei der Subtraction jede Ziffer unter eine gleiche zu ſtehen kommt.

1) Für reinperiodiſche reicht man aus mit dem Einfachen und dem 10⸗, 100⸗, 1000 ꝛc. fachen, je nachdem die Periode 1, 2, 3 ꝛc. Stellen hat.

Der periodiſche Bruch ſei z. B. 0,459 459......, ſo iſt, wenn man mit B den be⸗ ſtimmten zur Zeit noch unbekannten gemeinen Bruch bezeichnet

1000 B= 459, 459 459 459...(ohne Ende) und 1B= 0, 459 459 459 459(ohne Ende)*) Zieht man die untere Reihe von der obern ab, ſo erhält man 999 G— 459, alſo beiderſeits den 999ſten Theil genommen, B— 399

Man konnte auch offenbar, wenn man wollte, in der obern Reihe mehrere ganze Perioden vor das Komma bringen; ebenſo auch i in der untern— in dieſer nur weniger—, und würde ſo z. B. erhalten, aus 1000000 B—. 1 B;

459 459. 459 000 aber— 459 B—Z— 599—636; aus 1000000 B 1000 B B=—

Dann wäre der einfache Bruch 355 er nur mit 1001, beziehungsweiſe 1000 erweitert. So entſteht die bekannte Regel: (7) Nimm zum Zähler eine Periode(resp. mehrere); zum Nenner eine Zahl,

*) Da die Perioden ohne Ende ſich anreihen, ſo hat nicht etwa die untere Reihe eine Periode mehr als die obere. Dies würde nur bei einer endlichen Anzahl von Perioden ſtattfinden.