Stellen wir alſo zuſammen:

Endziſſer des Endziffer vom

Nenners 0 1[2 3 4 l5 6 1.8. 9. lachen d. Nenners. O 55 1 61 3[1 5 6899 2 6[2 16d 24 6 5 3 53 6 95 2 5 3[1 4 7 4 61 8 2 6[6 4 3 2 3

5 60 5 o5 05

6 016 28 4 6 6 2 8 4 7 671[S[5 2[5 6 3 8 6 GG 1 2 6 3 6 4 2 9 6 5 5 7 6 5[4 3 2 11

Hier ſehen wir ſogleich, daß für alle Zahlen, die ſich auf 1, 3, 7 oder 9 endigen, alle zehn Vielfachen eine verſchiedene Endziffer haben— oder nur ein Vielfaches mit einer beſtimmten End⸗ ziffer exiſtirt; während von den auf 0, 2, 4, 5, 6, 8 ſich endigenden mehrere Vielfache dieſelbe End⸗ ziffer haben können.

Dieſe beiden Gruppen von Zahlen unterſcheiden ſich aber augenblicklich ſo: Die zweite Gruppe enthält Zweien oder Fünfen als Factoren, die erſte iſt zwei⸗ und fünffrei.

(4) Enthält alſo der Nenner des gemeinen Bruchs keine Zwei oder Fünf, ſo fängt die Periode ſogleich nach dem Komma an, es entſteht ein reinperiodi⸗ ſcher Decimalbruch.

Unreinperiodiſche Decimalbrüche.

§. 6.

Ob für einen zwei⸗ oder fünfhaltigen Nenner der Decimalbruch nicht auch reinperiodiſch werden könne, iſt dadurch freilich noch nicht entſchieden. Denken wir uns aber einen gemeinen Bruch mit 2⸗ und öhaltigem Nenner, ſo können wir denſelben immer mit einer ſolchen Zehnzahl(Potenz von 10) multipliciren, daß ſich die Zweien und Fünfen des Nenners gerade wegheben laſſen, d. h. mit einer Zehnzahl, die ſo viel Nullen hat, als die höchſte Anzahl der Zweien oder Fünfen im Nenner beträgt.

Der ſo gehobene Bruch mit nun 2⸗ und 5freiem Nenner liefert dann jedenfalls einen re inperiodiſchen Decimalbruch.

Wird dieſer nun wieder mit jener Zehnzahl dividirt, mit der wir oben den gemeinen Bruch multiplicirt hatten, wodurch ſein Werth dem urſprünglichen gemeinen Bruch wieder gleichkommt, ſo rückt das Komma ſo viel Stellen nach links als die Zehnzahl Nullen hatte, und der Decimalbruch erhält dann nothwendig ſo viel Stellen als Vorperiode.