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wird, erſcheinen, ſomit die ganze Rechnung in derſelben Reihenfolge, alſo auch die Ziffern des OQuotienten ſich wiederholen,— es muß eine Periode entſtehen

(3) Enthält alſo der Nennerandere Primzahlen als Zweienoder Fünfen, ſo entſteht eine—(ohne Ende ſich wiederholende) Periode, die höchſtens n— 1 Ziffern haben kann, wenn der Nennern heißt.

Reinperiodiſche Derimalbrüche.

§. 5.

Sehen wir jetzt zu, unter welchen Bedingungen die Periode ſogleich nach dem Komma be⸗ ginnen wird Es wird dies offenbar dann der Fall ſein, wenn der erſte Reſt,*) der ſich wiederholt, der urſprüngliche Zähler ſelbſt iſt. So hatten wir oben(§ 1) bei der Verwandlung von in einen Decimalbruch nach der Reihe die Reſte 1 3 2 6 4 5, dann erſchien wieder der erſte Reſt oder urſprüngliche Zähler 1.

Betrachten wir nun genauer, wie die Reſte entſtehen. Ein beſtimmter Reſt, etwa 6(B (§ 1), kommt zum Vorſchein, indem ein Vielfaches des Nenners hier das 2fache,= 14 von einer Zahl abgezogen wird, die ſich auf 0 endigt. Iſt alſo ein ſolcher Reſt einem vorher⸗ gehenden, der 6(A gleich, ſo muß das vorhergehende Vielfache des Diviſors ſich hier wie dort we⸗ nigſtens auf dieſelbe Ziffer(hier 4) endigen, damit die 6 beidesmal als Reſt erſcheinen könne.

Gibt es nun Fälle, wo nur ein einziges von den 10 möglichen**) Vielfachen des Divi⸗ ſors ſich auf eine beſtimmte Ziffer(hier 4) endigt, ſo muß auch das über dem Reſt 6 in(B und(A ſtehende Vielfache(hier 14) unten und oben übereinſtimmen, alſo auch, wenn derſelbe Reſt 6 bleiben ſoll, die darüberſtehende Zahl 20 alſo auch der dem fraglichen Reſte 6 vorangehende Reſt 2 unten und oben derſelbe ſein.

Wenn es alſo allemal nur ein einziges Vielfache des Diviſors gibt, das ſich auf eine be⸗ ſtimmte Ziffer endigt, ſo muß, wenn ein Reſt ſich wiederholt, auch ſchon der vorhergehende ſich wieder⸗ holt haben. So fortſchließend überſieht man leicht, daß kein Reſt früher zum zweitenmal erſcheinen kann, bevor nicht der urſprüngliche Zähler ſich wiederholt hat.

Kämen aber wie im Beiſpiel 4(8 1) zwei verſchiedene Vielfache des Diviſors, z. B. das 6fache und 1fache von 12 ſich auf einerlei Ziffer, 2, endigen, ſo kann in beiden Fällen 8 Reſt bleiben und dann müſſen nicht die vorhergehenden Reſte einerlei geweſen ſein.

Sehen wir alſo jetzt zu, in welchen Fällen nur ein einziges Vielfache eines Nenners eine beſtimmte Endziffer hat, und wann deren mehrere auf dieſelbe Ziffer ſich endigen.

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*) Bei der Diviſion iſt der Zähler als ein Reſt, jeder Reſt aber als neuer Zähler zu betrachten.

**) Der Quotientenziffern können es zehn verſchiedene ſein: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.