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Entſtehung geſchloſſener Derimalbrüche. S. 3.

Geſchloſſen wird der Decimalbruch nur werden können, wenn der Nenner in den Dividendus aufgeht. Da der Nenner größer, iſt als der urſprüugliche Zähler, ſo werden an dieſen Nullen gehängt, d. h. er wird mit 10, 100, 1000 u. ſ. w. multiplicirt. Da aber der Nenner mit dem urſprünglichen Zähler keinen Factor gemein hat, ſo kann die Diviſton nur aufgehen, wenn die Fac⸗ toren des Nenners alle in 10, oder 100 oder 1000 ꝛc. enthalten ſind. Dieſe Zehnzahlen ſind aber nur aus Zweien und Fünfen zuſammengeſetzt.

(1) Geſchloſſen wird alſo ein Decimalbruch nur werden können, wenn ſein Nenner keine andern Factoren enthält, als Zweien und Fünfen.

Um aber zu beſtimmen, wie viel Decimalſtellen der Bruch bekommen werde, brauchen wir blos zu bedenken: Nach Anhängung von 1 Null kommt in den Dividendus 1 Zwei und 1 Fünf aͤls Factor; durch Anhängen von 2 Nullen erhält derſelbe 2 Zweien und 2 Fünfen als Factoren u. ſ. w. Hat alſo der Nenner z. B. 3 Zweien und 1 Fünf(d. h. iſt er= 2*. 5= 40) ſo kommen in den Dividendus erſt nach Anhängung von 3 Nullen 3 Zweien als Factoren; die geringere Anzahl von Fünfen ſchon früher.— Die Diviſion wird daher nach Anhängen von 3 Nullen aufgehn, aber nicht früher; der geſchloſſene Decimalbruch alſo 3 Stellen nach dem Komma erhalten.

(2) Der geſchloſſene Decimalbruch(Decimalbruch mit bloßer Vorperiode) wird daher ſo viel Decimalſtellen erhalten, wie die höchſte Anzahl der Zweien oder Fünfen im Nenner des gemeinen Bruchs beträgt.

So wird z. B. ein Bruch mit dem Nenner 4= 2. 2 2 Decimalſtellen 20= 2.2.5 2„ 25— 5.5 2„ 50— 2. 5. 5 2 7 8= 2.2.2 3„ 40= 2.2.2.5 3„ u. ſ. w.

erhalten. Natürlich darf— falls man etwa vorher nicht vollſtändig gehoben— der Zähler keinen Factor erhalten, der im Nenner in der höchſten Anzahl vorkommt.

Entſtehung periodiſcher Derimalbrüche. §. 4. Sobald aber der Nenner außer Zweien und Fünfen(welche auch ganz fehlen können) noch andere Primzahlen euthält, ſo kann die Diviſion unmöglich aufgehen, weil der Zähler(nach§. 2. 2) dieſe Primfactoren des Nenners nicht enthält und durch Anhängen von Nullen auch nicht bekommt. Führt man nun die Diviſion wirklich aus, ſo können, weil jeder Reſt kleiner als der Di⸗ viſor iſt, höchſtens ſo viel verſchiedene Reſte erſcheinen als der Nenner weniger 1 beträgt. Daher muß bei dann noch fortgeſetzter Diviſion einer der früheren Reſte wieder zum Vorſchein kommen, und da an jeden Reſt ein Null gehängt wird, eine ſchon früher dageweſene Zahl, in welche dividirt