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dem einen wie in dem anderen Falle muß Alles, was außerhalb der Sphäre„non-“ liegt, auch außerhalb der Sphäre„non- a“ fallen, mit andern Worten:

Wenn 8..... nicht non-, iſt immer S.... nicht non- a. Dies Urtheil iſt aber, nach dem Obigen, identiſch mit: Wenn S..... a, iſt immer S..... a.

Genau ebenſo werden die beiden andern Urtheile der Theſis hergeleitet.

Es muß übrigens wiederholt bemerkt werden, daß der Hauberſche Satz nur ſeiner ungemeinen Fruchtbarkeit wegen die eingehendſte Berückſichtigung verdient, und daß ihm nur aus dieſem Grunde ein hervorragender Platz in der mathematiſchen Logik zuerkannt werden muß. An und für ſich ge⸗ währt er blos ein mäßiges wiſſenſchaftliches Intereſſe, inſofern er, genau beſehen, nur einer Wahrheit Ausdruck verleiht, auf die, wenn auch nicht gerade in dieſer ausgeprägten Form, jeder mit Noth⸗ wendigkeit hingeführt wird, wer ſich immer über die Gründe der beſchränkten Umkehrbarkeit allgemein bejahender Urtheile Rechenſchaft zu geben verſucht.— Wir begnügen uns hier ſeine ausgedehnte An⸗ wendbarkeit, insbeſondere im Gebiete der geometriſchen Umkehrungen, an zwei dem Geſichtskreiſe der Schule entnommenen Beiſpielen zur Anſchauung zu bringen, indem wir in Betreff weiterer An⸗ wendungen nochmals auf die vortrefflichen Arbeiten von Drobiſch, Matzka„u. A. Bezug zu nehmen uns erlauben. Nur beiläufig ſei bemerkt, daß erſt mit Zugrundelegung des Hauber'ſchen Satzes es möglich wird, das Weſen der regreſſiven Methode in der Mathematik aus einem allgemeineren Grunde zu begreifen, daß erſt aus ihm ſich in befriedigender Weiſe ergibt, inwiefern die Integration als die eigentlich logiſche Umkehrung der Differentiation betrachtet werden muß, oder inwiefern der Function P(J), die die umgekehrte Function von f(X) genannt wird, wenn ſie für X in die Gleichung y = f GC) ſubſtituirt, dieſelbe zu einer identiſchen macht, auch im ſtreng logiſchen Sinn dieſe Be⸗ zeichnung zuſteht, u. v. A.

Bezeichnet man mit A, B, C die Winkel eines Dreiecks und, wie gewöhnlich, mit a, b, c die Gegenſeiten dieſer Winkel, dann gelten die drei dem Gebiete der Planimetrie angehörigen Sätze:

1. Wenn A= 900, iſt immer a2= b*+ c²

2. Wenn A ⁵½ 90⁰, iſt immer a2= b+ c²+ 2be cos A

3. Wenn A— 900⁰%, iſt immer a*= b:+ cꝛ*— 2be cos A, wobei wir, der Einfachheit des Ausdrucks wegen, den Begriff des Coſinus zu Hilfe nehmen und cos A außerdem als abſolut betrachten. Hergebrachter Weiſe wird nun in den geometriſchen Com⸗ pendien*) zunächſt der Lehrſatz(1), ſodann durch ein indirectes Verfahren ſeine Umkehrung dar⸗ gethan und erſt ſpäter zu(2) und(3) übergegangen, während man füglich den in der Regel müh⸗ ſeligen Beweis für die Umkehrung von(1) vermeiden könnte, wenn man von vornherein(1),(2) und(3) nachwieſe und dann in Gemäßheit des Hauber'ſchen Satzes unmittelbar auf die entſprechen⸗ den Umkehrungen ſchlöſſe.

Es ſei ferner x eine unabhängig Veränderliche, X ein beſtimmter Werth derſelben und c eine willkürliche Conſtante. Außerdem möge

für X= X, GC= c*“ für x C r, c- e-*“, für x., c— o“ ſein

*) Vergl. z. B. Kambly's Planimetrie a. b. O.