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Viereck mit gleichen Querwinkeln definirte, ſo müßte man doch Bedenken tragen, dieſe letztere Defi⸗ nition zum Ausgangspunkt der Lehre von den Parallelogramme zu nehmen, inſofern dieſelbe, ehe ſie als mathematiſche Definition legitimirt iſt, erſt noch eine beſondere, weitläufige Deduction verlangt. Immerhin wäre dies doch nur ein äußeres Zweckmäßigkeitsmotiv, und, rein mathematiſch betrachtet, iſt nicht einzuſehen, weshalb die Gleichheit der Querwinkel nicht ebenſo gut das Weſen des Parallelo⸗ gramms zu erſchöpfen und darzuſtellen im Stande ſein ſollte wie die Parallelität oder Gleichheit der Seiten. Selbſt eine Definition wie die folgende: Eine hyperboliſch involutoriſche Punktreihe iſt ein Punktſyſtem von der Beſchaffenheit, daß alle conjugirten Punkte, vom Centrum der Involution aus betrachtet, nach derſelben Richtung liegen, muß man vom Standpunkte der Mathematik als eine vollkommen ſtrenge und erſchöpfende Definition anerkennen, obwohl man vom Standpunkte der Logik aus ſich verſucht fühlen könnte, ihr nur den Rang einer diſtinguirenden Erklärung zuzu⸗ geſtehen. Das Liegen der Punktpaare nach gleicher Richtung iſt eben, mathematiſch genommen, genau einerlei mit der Poſitivität der Potenz der Involution, wenigſtens nur im Ausdrucke davon verſchieden.

Von den Fehlern der Definition finden ſich in der mathematiſchen Litteratur am meiſten ver⸗ breitet der Fehler des saltus in dividendo und der Abundanz. Erſterer verſtößt gegen die Regel: divisio fiat in membra proxima; unter letzterer verſteht man die(„überflüſſige“) Aufnahme conſecutiv⸗weſentlicher Merkmale in die Definition. An beiden Fehlern leidet z. B. nachſtehende (faſt ſtändig angewandte) Begriffsbeſtimmung: Ein Quadrat iſt ein Parallelogramm mit vier gleichen Seiten und vier rechten Winkel; müßte lauten: Ein Quadrat iſt ein Rechteck, in dem zwei anſtoßende Seiten gleich ſind. Denn das genus proximum des Quadrats iſt nach einer früheren Bemerkung nicht das Parallelogramm, ſondern das Rechteck— inſofern liegt ein saltus in dividendo vor. Außerdem iſt es Abundanz, die Gleichheit ſämmtlicher Seiten und die Rechtheit ſämmtlicher Winkel in die Definition mit aufzunehmen. Sehen wir nämlich von saltus einen Augenblick ab, ſo würde es doch nur geſtattet ſein zu ſagen: Ein Quadrat iſt jedes Parallelogramm, in dem zwei an⸗ ſtoßende Seiten gleich und ein Winkel ein rechter. Conſtruirt man, um dies einzuſehen, zunächſt einen rechten Winkel cha mit den gleichen Schenkeln ab und cb, ſo hätte man damit die beiden zu⸗ letzt genannten Merkmale des Quadratbegriffs zur Darſtellung gebracht. Führt man hierauf von den Punkten a und c die Geraden ad und cd parallel den beiden Schenkeln des rechten Winkels, dann hätte man in der ſo entſtehenden Figur auch den Gattungsbegriff des Quadrats(die parallelo⸗ grammatiſchen Eigenſchaften desſelben) conſtruirt. Dieſe Merkmale genügen mithin, um die Con⸗ ſtruction des Quadrats bewerkſtelligen zu können; ſie erſchöpfen folglich ſeinen Begriff vollkommen. Daß auch die Parallelen ad und dc den Geraden ab und be gleich, ſowie daß auch die drei anderen Winkel a, d und c Rechte ſind, erfahren wir erſt ſpäter durch die Lehrſätze: 1. Wenn ein Winkel eines Parallelogramms ein Rechter, dann ſind auch die übrigen recht, und 2. wenn zwei anſtoßende Seiten eines Parallelogramms gleich ſind, dann iſt das Parallelogramm gleichſeitig. Wollte man dieſe Charaktere gleich ſchon der Definition des Quadrats einverleiben, ſo würde man einerſeits die Realität, die Conſtruirbarkeit des Quadrats unnöthigerweiſe in Frage ſtellen, da man von vornherein gar nicht weiß, ob dieſe letzteren conſecutiven Merkmale mit den conſtitutiven verträglich ſind— wovon man ſich leicht überzeugt, wenn man eine dieſen ſämmtlichen Charakteren gleichzeitig ent⸗ ſprechende Anſchauung zu conſtruiren verſucht— andererſeits aber würde man ſich auch noch einer