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ſeine Realität; nachdem er den Begriff der Parabel beſtimmt hat, conſtruirt er eine Parabel. Mit einem Worte, das Definiens muß bei einem mathematiſchen Begriffe der Art ſein, daß durch dasſelbe die Realität des Definitums ſichergeſtellt, oder, mathematiſch geſprochen, daß es zur Conſtruction des Begriffes qualificirt iſt,— wobei es an ſich keinen Unterſchied bewirkt, ob die Conſtruirbarkeit ohne Weiteres erſichtlich iſt, oder erſt noch eines beſonderen Nachweiſes, ob der Begriff einer De⸗ duction bedarf, und wobei es ebenſo wenig von Belang iſt, ob in einem gegebenen Falle blos die Möglichkeit oder auch die Wirklichkeit(durch ausgeführte Conſtruction) des Begriffes erweisbar iſt. Es könnte ſich nämlich ſehr wohl ereignen, daß man von einem geometriſchen Begriffe bereits eine ziemlich abgeſchloſſene Theorie beſäße, ohne daß bis dahin die Mittel zu ſeiner Conſtruction aufgefunden wären; nur ſeine Möglichkeit muß unter allen Umſtänden erkannt ſein, damit man ſicher iſt, es mit teinem bloßen Hirngeſpinſte zu thun zu haben. Wenn es daher auch zuläſſig wäre, die Eigenſchaften etwa der Radicalachſen zu unterſuchen, ſelbſt wenn man nur erſt die Möglichkeit ſolcher Linien eingeſehen hätte, ohne ſie conſtruiren zu können, und dann eine ſolche Lehre als eine mathematiſch vollkommen gerechtfertigte erſcheinen würde, ſo müßte doch die Unterſuchung eines Vierecks, unter der Annahme, daß ſeine Winkelſumme 6 R betrage, als eine bloße mathematiſche Spielerei bezeichnet werden, ob⸗ ſchon ſich in abstracto eine vollſtändige Theorie eines ſolchen Vierecks entwickeln ließe. Es erſcheint demnach vollkommen gerechtfertigt, eine Gruppe von Merkmalen, die obigen Anforderungen genügt, als conſtitutiv⸗weſentlich zu betrachten.— Aus dem Geſagten ergibt ſich einmal, daß der Ariſtoteliſche Begriff der Weſens⸗Definition— 59 ιG Q i ore rιιμαινι— dem mathematiſchen am meiſten und weit mehr als etwa der Leibnitz'ſche der Realdefinition— ex quibus(definitionibus) constat, rem esse possibilem— entſpricht, ſodann daß die conſtitutiv⸗weſentlichen Merkmale bei mathe⸗ matiſchen Begriffen keineswegs etwas Abſolutes, Unwandelbares darſtellen, vielmehr bald die einen, bald die anderen Charaktere dieſen Namen verdienen, je nachdem die einen oder die anderen der Begriffsconſtruction unterlegt werden(ohne Zweifel als Folge davon, daß das Weſen der Größe und Lage, als der beiden Merkmale aller geometriſchen Objecte, zu einfach und äußerlich iſt, um eine Prävalenz der einen Merkmale über die anderen zu begründen), daß demgemäß ſowohl die Anſicht Ueberweg's,*) als auch die gleiche des Joh. Scotus Erigena**) in Bezug auf mathematiſche Begriffe aller Berechtigung entbehren, daß endlich in der Mathematik von einer Attributiv⸗Nominaldefinition ebenſowenig die Rede ſein kann wie von einer Attributiv⸗Realdefinition, während ſehr wohl der Unter⸗ ſchied zwiſchen Eſſential⸗Nominaldefinition und Eſſential⸗Realdefinition, entſprechend der mittelbar, oder unmittelbar einleuchtenden Conſtruirbarkeit des Begriffs, zugelaſſen werden kann. Es iſt damit in⸗ deſſen nicht ausgeſchloſſen, daß in gewiſſen Fällen der einen oder anderen mathematiſchen Definition dennoch der Vorzug vor den übrigen, noch außer ihr möglichen gebühre. Im Gegentheile wird man aus naheliegenden Gründen immer zu derjenigen Begriffsbeſtimmung greifen, die die einfachſte Conſtruction geſtattet. Und wenn es ſich deshalb auch theoretiſch völlig gleich bliebe, ob man das Parallelogramm als Viereck mit parallelen, oder als Viereck mit gleichen Gegenſeiten, oder auch als

*)„So können mehrere verſchiedenartige Begriffsbildungen mit relativer Berechtigung neben einander beſtehen, aber abſolut berechtigt iſt doch immer nur eine“ u. ſ. f.(Ueberweg, Syſtem der Logik, 2. Aufl., P. 108.)

**)„Quamvis multae definitionum species quibusdam esse videantur, sola ac vere ipsa dicenda est definitio, quae a Graecis 0sσ⁶νποmνπς, a nostris vero essentialis vocari consuevit— Sola odνσννπα id solum recipit ad definiendum, quod perfectionem naturae, quam definit, complet ac perficit.“(De divisione nat. 1, 43.)