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vollen Regulativs, wenn man die Form mißachtet. Immerhin mag die Mathematik als Wiſſenſchaft noch befugt ſein, ſich auf ihrem ſteilen Wege zur Ermöglichung eines leichtern Fortgangs der ſchweren Rüſtung ſtellenweiſe zu entledigen. Bei einer Wiſſenſchaft, die in ſo feſten Bahnen ſich vorwärts bewegt wie die Mathematik, iſt von kleineren Inconvenienzen für das Geſammtergebniß ohnehin nichts⸗ Ernſtliches zu beſorgen; größere Unzuträglichkeiten aber werden immer wieder in ihr ſelbſt ein Cor⸗ rectiv finden.

Ganz anders hingegen verhält es ſich mit der Mathematik als Schulwiſſenſchaft. Hier tritt ausſchließlich die philoſophiſche Seite derſelben in den Vordergrund. Hier gibt es daher keine Freiheiten, ſondern nur Nachläſſigkeiten. Die Wiſſenſchaft mag in einem beſondern Falle ſich mit der Deſcription eines Begriffes begnügen; die Schule kennt nur die Definition. Denn die päda⸗ gogiſche Aufgabe der Mathematik iſt vorwiegend eine formale. Nicht die Anwendung, nicht die Re⸗ ſultate an ſich, ſondern weſentlich das Verfahren, das zu dieſen Reſultaten führt, nur die Muſter⸗ giltigkeit dieſes Verfahrens in logiſcher Hinſicht begründet die Poſition der Mathematik als Schul⸗ gegenſtand.*) Es iſt deshalb für die Lehrer der Mathematik nicht blos eine Forderung der Pflicht, ſondern auch des eigenen Intereſſes, die Strenge und Bündigkeit des mathematiſchen Verfahrens nirgends und an keiner Stelle erſchlaffen zu laſſen, für die Reinheit der Form mit allen Kräften einzutreten.— Zunächſt dieſem Zwecke will auch die vorliegende Abhandlung dienen, wenn ſie einige Gegenſtände der mathematiſchen Logik zur Sprache bringt, die, obwohl ſchon für die erſten Elemente des mathematiſchen Unterrichts von einer durchgreifenden Bedeutung und daher einer ganz beſonders ſorgfältigen Behandlung bedürftig, doch allgemein die augenfälligſten Spuren der Verwahrloſung blicken laſſen. Es ſind dies die mathematiſche Definition und Converſion.— In erſter Linie haben deshalb die folgenden Zeilen eine pädagogiſche Beſtimmung. Wie weit ſie auch einiges wiſſenſchaftliche Intereſſe bieten, muß der Verfaſſer dem Urtheile ſachkundiger Leſer überlaſſen. Er erlaubt ſich in dieſer Beziehung nur auf einen Lehrſatz aufmerkſam zu machen, der ihm beſonders für die Lehre von dem mathematiſchen Artbegriffe nicht ohne Werth zu ſein ſcheint, und der die reine Umkehr⸗ barkeit eines allgemein bejahenden hypothetiſchen Urtheils betrifft in dem Falle, wo das Subject des Antecedens das genus proximum desjenigen Begriffes iſt, von dem das Conſequens eine neue Eigenſchaft prädicirt,— ſowie auf die allgemeine Behandlung der Frage, wann innerhalb eines vollſtändig disjunctiven Syſtems allgemein bejahender hypothetiſcher Urtheile einige derſelben als rein logiſche Folgerungen der übrigen erſcheinen.

Wenden wir uns zuerſt zur mathematiſchen Definition. Nach der verbreitetſten Erklärung iſt dieſelbe das conjunctive Urtheil zwiſchen dem Definiendum, als Subject, und der durch den Art⸗

*)„Es kommt für den Charakter einer Realſchule und für die Erfüllung ihrer allgemeinen Aufgabe weſent⸗ lich darauf an, in welcher Weiſe der mathematiſche Unterricht gehandhabt wird. Bildet er daſelbſt, wie er ſoll, wirklich eine Gymnaſtik des Geiſtes, welche die Denkkraft weckt und übt und, indem ſie die Fruchtbarkeit eines ſtreng methodiſchen Verfahrens zum Bewußtſein bringt, das Productionsvermögen ſtärkt, und bei der den Schülern eine mechaniſche Auffaſſung unmöglich, dagegen die Freiheit und Sicherheit des Blicks und Urtheils zu eigen gemacht wird, welche die Entwickelung eines Satzes nach allen Seiten verfolgen kann, und durch die Verſchiedenheit der Form und Stellung, worin derſelbe Gegenſtand erſcheinen mag, ſich nicht beirren läßt, nur dann iſt die Mathematik unter den ausſchließlich formalen Bildungsmitteln der Realſchule das wichtigſte und wirkſamſte, und kann derſelben nach ihren Zwecken dasjenige erſetzen, was die Gymnaſien in einer umfaſſenden und gründlicheren Betreibung der alten Sprachen voraus haben.“(vgl. Erläuternde Bemerkungen zu der Unterrichts⸗ und Prüfungsordnung vom 6. October 1859, p. 61.)