Ein Beitrag zur mathematiſchen Logik
Dr. C. Iſrael.
Uneer allen wiſſenſchaftlichen Erkenntniſſen wird die Rechtmäßigkeit der mathematiſchen am wenigſten bezweifelt. Die Thatſache der Mathematik war von jeher die Inſtanz, an der der Skepti⸗ cismus zum Scheitern gebracht wurde. Dieſe in mancher Hinſicht einzige Stellung verdankt die Mathe⸗ matik nicht ſowohl ihrem apodiktiſchen Charakter ſchlechthin, als der Formvollendung und der Evidenz ihrer Lehren, oder, richtiger, dem gleichzeitigen Zuſammenwirken dieſer drei Factoren.— Allerdings ſoll nicht verkannt werden, dieſe vielbewunderten Eigenſchaften der Mathematik haben auch ihre zweite Seite. Alle logiſche Demonſtration beruht auf dem Principe der Identität und des Widerſpruchs. Eine jede ſtreng demonſtrative Wiſſenſchaft hat deshalb eine gewiſſe Einſeitigkeit(Identität) des Inhaltes zur nothwendigen Vorausſetzung, ohne welche ſie ſchlechterdings nicht demonſtrativ ſein könnte, und die Mathematik, als die extremſte unter den theoretiſchen Wiſſenſchaften, kann am aller⸗ wenigſten davon eine Ausnahme machen. In der That hat es dieſelbe in ihrer ganzen unüberſehbaren Ausdehnung lediglich mit Entfaltung eines einzigen Begriffes zu thun— des Etwas mit den beiden Attributen der Größe und Lage, mithin eines Begriffes, deſſen Inhalt als die erſte Erhebung über einen blos ontologiſchen Inhalt, als die erſte Concretionsſtufe des nackten Ens zu betrachten iſt.— Gleichwohl hat die Mathematik allen Grund mit dieſer Abgezogenheit ihres Inhaltes zufrieden zu ſein. Nur ein Inhalt von dieſer Homogenität beſitzt genügende Dehnbarkeit, um ſich jeder, auch der ſtrengſten Form der Wiſſenſchaft anzupaſſen, nur dieſe Allgemeinheit verleiht dem mathematiſchen Inhalte ſeine unbeſchränkte Individuationsfähigkeit, nur ein Begriff mit ſo kargem Inhalte kann, nach logiſchen Geſetzen, einen Umfang haben, der ihn als einen Cardinalbegriff der geſammten ſinn⸗ lichen Welt erſcheinen läßt.
Die Form alſo und die Unumſtößlichkeit der Erkenntniſſe ſind es, wodurch der philoſophiſche Werth der Mathematik bedingt wird, und es iſt deshalb eine wenig erfreuliche Erſcheinung, wenn in unſerer neueren Litteratur ſich nicht ſelten ein entſchiedenes Zurücktreten der Form bemerklich macht. Zunächſt vom philoſophiſchen Standpunkte eine wenig erfreuliche Erſcheinung. Kaum minder in⸗ deſſen vom rein praktiſchen. Denn obſchon ſich nicht in Abrede ſtellen läßt, daß die Mathematik als ſolche vor Allem reale Ziele zu verfolgen hat, und daß als ihr letztes Ziel nicht die Form der Wahr⸗ heit, ſondern die Wahrheit ſelbſt anzuſehen iſt, ſo ſteht doch gerade zu dieſer letztern die Form in einem innigeren und weſentlicheren Verhältniſſe, als allem Anſchein nach vielfach geglaubt wird. Zu⸗ mal die methodologiſchen Formen üben auf die Sicherheit nicht blos des ſyſtematiſchen, ſondern auch des rhapſodiſchen Erkennens einen unverkennbaren Einfluß aus, und man begibt ſich eines werth⸗