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VWaa 45— VWae A2— Va2(+ ar i † a2 5⸗— as 2a)— Vas(Ai 51— a2 E2+. az 8s) = Vas B.— Vas CI= 0. Demnach hat Ai die Gl: Vas P;— VWaz P,= 0. Ebenso findet man: B,= Val P— Vas P,= 0 und Ca= Wa, P,— Vai P= 0. Hierin haben Pi, Pa, Pa die S. 12 angegebenen Werte. Da A+ Be+ Cz= 0, so ist die Behauptung erwiesen.
11. Schneiden die Tangenten in X, V, Za an Au die Ecktangenten Pa Pz. Pa Pi, . 4 5— 2, L2, 772.. 118 Ta II 13 11 P. P, bez. in A¹, B2, C'3, so bestimmen 1i A“1, 1e B2, Pa C"3 den Punkt P’ mit der Gl.:
T= Va Pi+* P./ a. P., 0.
Zunächst lisst sich zeigen, dass Au harmonisch konjugiert ist zu Auin bezug auf P, Pa. Bildet man nämlich Va. P. † V aa Pg= 0, addiert und subtrahiert links den Ausdruck (T ae. V 44)[ag E+ az,— V0a ag(ka.+ℳ 5s)J. so erhält man
A“n=(Vax+† Wa3) X.+ Vaa as(Va⸗— V2s)(Ez— 3)= Vas Pz+† Vaa P.= 0. An liegt demnach sowohl auf der Parallelen durch X. zu BC als auch auf P; Pa. Die Gl. V as P.+ Vaz P,= 0 bestätigt die harmonische Lage von An und Au in bezug auf P., Pa. Weiter gilt: B,=Wa P. †. Was p. und Ci= V a P. † a4. P,= 0.
Aus den Gl. von A1, B2, C' folgt unmittelbar der andere Teil der Behauptung.
Ai B, Ca ist also Harmonikale von P' in bezug auf Pi Pa Pa.
12. Folgende Gruppen von Punkten liegen in gerader Linie: Xa BI Pe, Xa 0i P. vb Az Pi, Nb CZ Pa; Ze Az Pi, Zo Ba P. Der Beweis soll für die letzte Gruppe geführt werden. Es ist B=—— P,+ 2 a1 51. 2 V au a2 F.=— PB. 2 Lar. 7e= 0.
13. Die Tangenten in Xi, VI; VI, Zi; Za. Xi mögen sich in F, G, H treffen. Dann gehen Pi F, P. G, Ps H durch D..
Aus dem Brianchonsechsseit P. B Ba F VI Cz geht hervor, dass Pi F. B VI. B Cꝛ sich in einem Pankte schneiden. B N ist aber Ecktransversale von D, also muss der ge-
meinsame Schnitt der letzten drei Geraden D sein. P; F geht also durch D. Ebenso beweist, man, dass P, G und P; H durch D gehen.
14. Aus 13 folgt, dass Bz(, Az Bi, Ci As auch durch D gehen.
15. Schneiden B. C, und. Ba die Seite a in Ua und Ue; C. As und Aa(i die
Seite b in V, und Va; A, Bi und B. Ag die Seite c in We und W., so liegen U, Vi; Va, Wa; W., Uz auf Parallelen zu a, b, c.
Beweis: Ci+ Bz= U.= Nal+˖ V a,) 22+ V a. 7.= 0 und C.+. Az= v,;
— Was+ W2a) E8.+ Vaz*= 0; mithin ist U— V= E— 5= 0, also Ua Vi IIc.
Die Ecktransversalen von D halbieren folglich die Strecken U Vi, V, Wa, W. Ua.