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16. Der Minimumpunkt D’ ist Winkelgegenpunkt zu dem Punkte E, für den die Summe der Kuben der Abstände von den Seiten des Dreiecks ABC ein Minimum ist.
Man erkennt dies sofort aus den Gl. für D' und E= a Va+ b Vb kr + c Vcs= 0. D’' und E sind also Brennpunkte einer dem 2 ABC eingeschriebenen Ellipse.
17. Um die Gl. von F, G, H in 13 zu finden, braucht man Zz. B. für F, nur zu be- achten, dass F auf der Parallelen durch VI zu AC und nach 13 auch auf der Geraden Pi D liegt. Hierdurch gelangt man zu der Gl. von F und durch ähnliche Betrachtungen auch zu denen von G und H. Es ist:
F=2 Va D— Na. † a.VIaa) Pi= O; G= 2VaD— V Ia) Pe= 0 H= 2 Valas D—(Vai+ Vas+ a⸗) P.= 0.
18. Aus 17 folgt unter Berücksichtigung der Ausdrücke für Pi, Pz. Ps und D: F+ G= Z., G+ H= XLI. H+ F= VI. Die Geraden F XI, G VI, H ZI schneiden sich also in einem Punkte mit der Gl.: R= F+X+ G+ H= O oder R= 2(arααᷣ+2‿ᷣ¶ õ 1cd³a+‿ Iara2) D—(a+ Va+ Vaz) P= 0.
Rliegt demnach auf der Verbindungsgeraden von D mit dem auf S. 12 erwähnten Punkte P.
19. Die Geraden von D durch die in 11 eingeführten Punkte A, B’, C’'s schneiden auf F H. H G, G F die Punkte aus: La= Va F+ Vas H, La= Vas H+. Vas G, La= Vaz G+ Var F. Bildet man nämlich aus 17 den für La angegebenen Ausdruck, so erhält man La= Va G+ WVa. F= 4 Va12 33 D— Va+ a+ Waa)(W Pe+ Va Pi)= 0. Die Geraden F La, G La. H Ls gehen also durch L= Va F+ Vas G+. Vas H.= 0, oder L= 6 Varaxds D—(Va.+ Va+ Wa3) P’= 0.
L, D und P’' in 11 liegen also auf einer Geraden.
20. Die dem 8QABCumgeschriebenen Parabeln. Das Ecktangentendrei- eck P P. Pʒ von Ya kann man als Brianchonsechsseit Pi C Pz A Pg B auffassen. Dann liegt ein Parabel vor, wenn der zugehörige Brianchonpunkt P auf der Steinerschen dem ½ ABC
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eingeschriebenen Ellipse liegt, oder wenn nach S. s=— 21²— a2²— 232+ 2 a1 22+ 2 as as+ 2 33 al= 0 ist.
Diese Gl. lässt folgende Umformungen zu: —(— a+ a+ 23)“+. 4 ae as — au+ a2+ as)+ 2 VWa* aa][—(— al+ ⸗+ a3)+ 2 Vou aa.]
=[— ai+ a⸗+† Was)²][+ a1—(a.— Was)2] = War+‿a.+ s)(—Iar+ Va V3n)(a— Va. † a3) Car † a2— L.33)=0. Von den Wurzeln braucht man, wie auf S. 11 gezeigt, wieder blos die positiven Werte zu nehmfen. s kann daher nur Null werden, wenn einer der 3 letzten Faktoren Null wird. Es sei— Var+ Va⸗+ Vas= 0. Für die hierher gehörigen Parabeln liegen Xi, Va, Za im Unendlichen, da die Summe der Koeffizienten ihrer Gl. sich immer in 2 Faktoren zerlegen lässt, deren einer— Va+ a,+ Vas ist. Dasselbe gilt von D. in No. 8.
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