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Welcher Ant sind die Kegelschnitte mit reellem D?
Der Kegelschnitt Ya ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem 8=— a1²— ag— ag?+ 2 a1 ag+ 2 ag ag+ 2 ag a1= 0.
Hierin sind die Grössen a entweder alle drei positiv, oder eine oder zwei von ihnen sind negativ oder auch Null. Der Fall, in dem alle 3 Grössen negativ sind, lässt sich auf den ersten Fall zurückführen.
Der Fall s= 0 kann nur für positive a eintreten; denn wäre z. B. 21=— ſer, so könnte man schreiben s=— d1²— 1öae 43)„J= 2[arl ag— 2 as ai. d. h. s=. Aus s=— a+ e2+ 4,1 ag! as folgt, dass auch für a=— al] und ag=— ſag! 3= 0 ist.
Man darf demnach, wenn ag ⁵₰½ 0, setzen ai: ag= k². Fär ag= 0 wäre Ya ein in einen Punkt zerfallender Kegelschnitt. Führt man an: ag= ka in s= 0 ein, so er- giebt sich ag: ds=(4+ k+ 1)2=(k+ 1)², worin kKalle posltiven und negativen Werte aunchmen lann. Der Punkt P nimmt also die Form an P E ke 5+(KkK+ 1)²+ = 0, d. h. P beschreibt im Falle s= 0 die dems ₰△ ABC eingeschriebene
Steinergche Ellipse.
In dem von dieser Ellipse eingeschlossenem Gebiet muss's immer dasselbe Zeichen haben. Setzt man al= ag= ag, so wird P= S unqd liegt also innerhalb der erwähnten Ellipse. s ist dann immer ½ 0.
In dem ausserhalb der Steinerschen Ellipse gelegenen Gebiet ist mithines= 0.
Der einem QABC umgeschriebene Kegelschnitt ist also eine Ellipse, Parabel, Hyperbel, je nachdem P inne rhalb. auf, ausserhalb der Steinerschen eingeschrie- benen Ellipse liegt.
D ist demnach reell für alle Ellipsen und Parabeln und diejenigen Hyperbeln, für die P innerhalb des Dreiecks A BC oder auf dessen Seiten liegt. Es sind das die Hyperbeln, bei welchen nur der eine Zweig durch die Ecken A, B, 6. hindurchgeht.
1. Unter allen Punkten D= Val.+ Vas k+. Vas 2= 0 ist D Va 51 + Vb 5,+ Vc= 0 der Punkt, für den die Summe der reziprok en Masszahlet der Abstände von den Seiten a, b, c des Dreiecks ABC ein Minimum ist.
„y, z seien die Maaszahlen der Abstände eines beliebigen Punktes innerhalb
1
.. 7, 1 1 des Dreiecks von den Seiten; dann ist das Minimum von—+ͤ=+— unter der Bedingung X 7 2
X
a X+ b y+ Cz= 2 M̈ᷓ zu suchen, wo ᷣ̈ der Inhalt von ⁸½̈ ABC ist. Da x, y und z in dem hetrueltteten Gebiete positiv sind, ihre Zeichen also nicht wechseln, so bleibt die
Fanktion ¹—.. 1 in ihm eindeutig und stetig. Dasselbe gilt von ihren Ableitungen.
. 1 171. Bei denertehn z tritt das Minimum von—+ 7 unter der Bedingung a x+ b y= d² X ein für— 1). 2 1 a b:(dz— a Xx)²= 0, d. h. wenn— 1: X2 Ta: b y²= 0 oder
: y=Z— ye y Da x und y positiv sind, darf nur das Zeichen+ genommen werden.
In gleicher Weise findet man y: 2 Der Punkt mit den zu 1: Va, 1: I b,
1 : Fe.