— 12—
Bildet man nun Ta= 0—(k+ 1) T= aa—(k+ 1)2 az ks= 0, so füällt Ta
unter der Belingung(k+ 1)²= az: dg mit dem unendlich fernen Punkte e—= 0 zusammen. Fär die Werte k=— 1 ¼ Vez: ds] erhält man dann aus der Gl. von 0
für die beiden Berührungspunkte dieselben Gl. wie in der ersten Lösung: Xt und Xz= †¼(— enk+† a¹+ as 5a)+† V22 33(kz+†)= 0. Ebenso ist NI und V.+(+ a21 5,— 23 5,+ 9 52)+ W43 34(àz ℳ9 k)= 0. Ju unl 7.=*+(† n, l+ a2 8e— da ka) † Varas(&r+.)= 0. Von den Wurzeln sind, wie aus dem Werte von k ersichtlich, nur die abzoluten Werte zu nenmen. VI, V, Z, 7. sind die Berührungspunkte der Tangenten, die parallel zu CX unl C gezogen werden können.*)
Da Pi=— an 5 4 ag+ a3 kz= 0, 1/r 5l a ke+. as 83= 0, = ae 4+. a,— 53 53— 0 die Schnittpunkte der Tangenten in den Ec ken des Drei- ecka A1 G an Yu sind, wätrend Ma= 2+ 3= 0, M=+ 81= 0, M.=+*
= 0 die Mitten der Dreiee Ksseiten far estellen, so erkennt man aus den abigen Gl..„ dass Xi undl X 2 auf Pu Ma liegen und harmonisch konjugier: sind zu Pi und Ma u. s. f. Dies muss
der Fall sein, da Bo auf der Polare BC von Pi und P, auf der Polare X. X, von Poo liegt.
Die Gl. von X und X kann man schreiben: Xi=— a1 k+†(22+† V ra)(22 22+ Waz k⸗)= 0. X.=+ 21 k—(Ia.— W³a)(War,— Vaa 3) Sie sagen aus, dass die Ecktransversalen A X, und A X, die Seite BC in den Punkten Xa= Var.+† V3z&= 0 und X“= V/ a,&,— Vas ks= O treffen. Ebenso ist T= W= k,+ V2, k. BO„ 1=/ à= VI 2.=0, Ve= VWrr k hV 2, 2= O„ Le= Va. 2— V33.— 9. Die Eckbtransversalen A Na, B Vy, CZc schneiden sich also in dem Punkte X“'à, Y'b, Z'e liegen auf der Harmonikalen von D. Die Geraden Xa Vb, Vb Zc, Ze Xa gehen durch Zie, X'a, 15
Die Punkte XI, VI, Zi befinden sich, da die Wurzeln nur mit ihren absoluten Werten auftreten, immer innerhalb der Winkel A, B, C oder in deren Scheitelwinkeln.
S
Hiernach erhält man D, wenn man an den dem △ ABC umgeschriebenen Kegel-
schnitt Ta=— a1* E*— a,?² 5.“— rze e?*. 2 31 32 El E ſ. 2 Cs ag 8. 5, 3 2 nz fg E4 E1= 0
die innerhalb ler Winkel A, B. C oder in deren Scheitelwinkeln liegenden Berährungs- punkte X, Vi, Zi der zu B 0, 6 CA, AB parallelen Tangenten bestimmt und dann XI, VI, Z1 mit den Ecken A, B, C verbindet.
Von den Punkten XI. VI, Zi kann immer nur einer in den Scheitelwinkeln von bez. A, B, C liegen. Dieser Fall tritt ein für die Hyperbeln, die nur mit einem Zweig durch die Ecken A, B, C des Dreiecks hindurchgehen. Siehe Nr. 21.
Der Punkt D existiert, so lange as, ag, as positive Werte einschliesslich der Null haben, d. h. so lange der Punkt P= a1 51—. d2 5e+ 23 5s= O innerhalb des Dreiecks ABC oder auf dessen Seiten liegt.
P ist der Punkt, in dem sich die Verbindungsgeraden der Ecken A. B. C mit den Schnittpunkten Pi, Pa. P; der Ecktangenten an Ya schneiden.
⸗) Vergl. Salmon-Fiedler, anal. Geom. der Kegelschnitte, II. Teil, 5. Aufl., Seite 692 u. 550.