3

Der Punkt’r εέςι Ia ε+£α˖,= 0.

Der Punkt D= VWar+ W+ a 5= 0*) steht in enger Beziehung zu den Berührungspunkten der Tangenten, die man an einen dem ABC umxgeschriebenen Kegelschnitt parallel zu den Seiten des Dreiecks ziehen kann. Es wird sich zeigen, dass dieser Punkt D im Falle al= a, ag= b, ag= c ein Minimumpunkt ist und zwar derjenige, für den die Summe aus den reziproken Masszahlen der Abstände von den Seiten des Dreiecks einen kleinsten Wert erreicht.

Die Bestimmung der Berührungspunkte obiger Tangenten soll durch trimetrische Liniencoordinaten mit dem Schwerpunkt S als Einheitspunkt erfolgen.

Erste Lösung: Die Gleichungen der Ecken A, B, C des Dreiecks A BC seien

in der Normalform: 5= 0, 52= 0,,= 0. Dann hat jeder dem S ABGC umgeschriebene Kegelschnitt die Gl.: — a, 2 E. 2 ,2 F 2— g., 2 F2 2 a, 1 2 N 2 a.— An=— al¹ 812— a2² 52 a32 83+†ft 2 al ag 51 52+ft. 2 92 a3 82 53+ 2 a3 a1 53 51= 0.

In dieser Gl. sind al, ag, as beliebige reelle und konstante Grössen. Man kann ihr die Form geben:

—(— a+ a2 e+. d 53)²+ aa as(kz+ 83)2= az as(z— 53)“, oder — a1 Ei+ a2 8e+ es 5s ℳ Vn2 23(E ℳ 56)] ler Ei— a2 52— ag 8s+ Vas as(+ 231é a2 D3(E2— 8z).

Von der Wurzel braucht blos der positive Wert genommen zu werden; der negative Wert würde nach Multiplikation jeder Klammer mit— 1 nur eine Vertauschung der Faktoren zur Folge haben.

Die letzte Gl. sagt aus, dass der unendlich ferne Punkt von B C, nämlich 5,— 5= 0, der Schnittpunkt der Tangenten ist, welche die durch die Klammern dargestellten Punkte XI und Xę zu Berührungepunkten haben. Die Tangenten in X und Xe an Yu sind mithin BC parallel. Für die Berührungspunkte der zu BC parallelen Tangenten hat man als"

die Gl.: Xi und X,=+(— 21 kl+ a2 ke+. 33 83)+‿ V a2 23(Es+ 82)= 0.

Auf dieselbe Weise können die anderen Berührungspunkte bestimmt werden. Figur 2

zZweite Lösung: Versteht man unter k eine Grösse, die alle reellen Werte von — bis+ annehmen kann, so ist jeder Punkt eines dem ½ ABGC umgeschriebenen Kegelschnitts in der Gl. enthalten: Q=(k+ 1) a1— k a,+ k(k+ 1) 23 53= 0.

Hiervon kann man sich überzeugen, wenn man die Ableitung nach k bildet:

3˙0

6 1.= 91 5l— a. 5s+(2 k+ 1) as s= 0 und den aus dieser Gl. gefundenen Wert von k in die Gl. von Q eingesetzt. Das Resultat, der Elimination ist die Gl. von Ya auf Seite 11. Die Ableitung 2— T=/·‧Y0 lässt sich

5 k S schreiben: Q+ 68— QüäéZR T= 0. Aus dieser Form entnimmt man, dass T auf der

Tangente in Q an Xa liegt, denn Q+ 4 ist der unendlich benachbarte Punkt von Q.

*) In den Gl. aller Punkte dieser Abh. sind unter Var, Vaz, Vaus nur die absoluten Werte zu verstehen.