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Eck-Tangenten die Gegenseiten in Punkten treffen, die in einer Geraden durch den Schwer- punk! des Dreiecks liegen.

Die umgeschriebenen Kegelschnitte sind gleichfalls Hyperbeln und zwar solche, bei denen der eine Zweig immer nur durch 2 Punkte, der andere durch den dritten Punkt des Dreiecks geht. Die Polare oder Pascallinie R konstruirt man leicht nach Seite 2. Beispiel IV. Der Mittelpunkt des Inkreises J= a k+ b e+ c= 0

„. 8.. und sein Seitengegenpunkt Ir= 2+ 3+ 4= 0 bestimmen den Brianchonpunkt a—

b

= 11.e ſa. Afee alor 1 I. e c 5 bI.*t 4. ſe 8* a] † 8 3 9154= 0. 1

R= sin(a+ 0) 5.+ sin(6+) 5+ sin(†f+ 0) 53= 0, wenn o den Brocardschen Winkel bedeutet.

Die Konstruktion von R erfolgt also durch die Scheitellinien von J und Jr. 8

Der Gl. für R kann man die Form geben: R= cos. J+ sin o(cos a l+ cos B+ cos I 53)= 0.

Hieraus ergiebt sich, dass N= cos a l+ cos 5,+ cos † mit R und J auf einer Geraden liegt.

Schreibt man andererseits

R= a(bz+ c*¹) 5+ b(c*+ a*).+ c(a²+ b²) kz= 0 oder R=(al+ b⸗+ c). J—(al l+ bz,+ c* 53)== 0, so entnimmt man dieser Identität, dass R, J und T= as+ L E,+ ³&= 0 gleich- falls in einer Geraden liegen. Da ax: be= sin(a—): sin u. s. W., so ist auch T= sin(a—) 5+ sin(6— ¹).+ sin(— 0) 53= 0. Aus R= cos. J+ sin. N und T= cos e. J— sin. N= 0 ergiebt sich, dass R und T, J und N harmonische Punktepaare sind.

Beispiel V. Von besonderem Interesse ist der Fall, in dem a ba+ a3 be= 31 Pz+. az bz= 22 b.+ a1 ba ist.

Er tritt ein, wenn b= X. al(— a1+ as+ aa), be= X. a,(al— ag+ a2), bz=

, 3,. 7 7 d½ d 3— 1. as(a+. a2— az). Diese Beziehung findet statt für den unendlich fernen Punkt Po= k—(k+ 1) k+ k.= 0 und den demselben kentsprechen- den Punkte der Steinerschen eingeschriebenen Ellipse: Qi= k²+(K+ 1)². 5,

+= 0. Poo und QGi bestimmen also den Brianchonpuunkt

R= kt E—(k+. 1)3...= 0 Lässt man k alle reellen Werte von— bis+ c durchlaufen, so erhält man die Kurve, welche R beschreibt, indem man aus R= 0 den Wert k bestimmt und ihn in R einsetzt:

9 K . 2=(+ 52 5+† 53 51)2— 4 81 5 53(k++ 8)= 0.

7,51390114.„... 0 Dies ist eine Kurve 4. Klasse. Die Ableitung 3*= k E—(k+ 1)²&= 0 sagt aus,

*) Vergl. Emmerich: Der Brocardsche Winkel des Dreiecks, S. 7, Progr. No. 455 v. J. 1889, Mühlheim a. d. Ruhr.