— 4u—

R= sin zx ki † sin ²3 Ee+ sin ²r 5s= 0.

Dieser Punkt ist aber der Grebesche Punkt G. Zu seiner Konstruktion braucht, man also blos die Ecktransversalen von S und H. zu ziehen und die gegenüberliegenden Schnittpunkte zu verbinden. Ihr Schnitt ist G. G' ist also Zentrum eines dem 8△᷑ ABC eingeschriebenen Kegelschnitts, der die Dreiecksseiten in den Fusspunkten der Höhen be- rührt. Die letztere Eigenschaft ist bekannt.

Beispiel II. Es sei Q= S, P= G. Dann wird

— 1——2— 83 81 82 4—— .= sin ²8* sin 2² 5 sin 22 4. sin ²†* sin 2a³ 8 sin 26 95 G= o,

wo 0 und 0“ die beiden Brocardschen Punkte bedeuten. Da die Koeffizientensummen von 0 und 0“ gleich sind, so liegt R in der Mitte von 0 G.

Beispiel III. Lässt man Q mit dem Schwerpunkt S und P mit dem unendlich fernen Punkte

po= k ki—(k+ 1) k.+ à= 0

zusammenfallen, so nimmt R die Form an:

R=Æ kz+(k+ 1)²+ s= 0. Dies ist aber ein Punkt der Steinerschen eingeschriebenen Ellipse; denn bildet man= k h+(k+ 1)= 0 und eliminir“ k, so ergiebt sich die Gleichung: 51 E+ E, 5 †+ k. 8.= 0. Dies ist die angegebene Ellipse.

Lässt man k alle Werte von— bis+ durchlaufen, so beschreibt demnach R die Steinersche Ellipse. Nach S. 2 hat man noch folgenden Satz:„Die Steinersche eingeschriebene Ellipse ist der Ort der Mittelpunkte aller der Kegelschnitte, die in den Fusspunkten der Ecktransversalen der unendlich fernen Punkte berähren oder auch: deren Berührungspunkte auf Parallelen durch die Ecken des Dreiecks liegen“.*) Diese Kegel- schnitte haben die Gl.:

— k(k+ 1) à1—(k+ 1) ks+ k&s 8.= 0. Die Koeffizientensumme—(k+ ½4)2— 3:4 ist für alle reellen Werte von k negativ, also sind die Kegelschnitte Hyperbeln. Die Interpretation des Beispiels III in Flächencoordinaten yi

lautet:

Lässt man Q mit der unendlich fernen Geraden S und P mit einer Geraden durch

den Schwerpunkt

Pa= k yi—(K+† 1)+† v= 0 zusammenfallen, so nimmt die Pascallinie R die Form an:

R= ke y,(k+ 1)* ve † v.= 0.

Dies ist aber eine Tangente der Steinerschen umgeschriebenen Ellipse yr y+ ve Fs + vs vI= 0. Man hat also folgenden Satz:

Die Steinersche umgeschriebene Ellipse ist die Enveloppe der Polaren des Schwerpunktes inbezug auf alle dem 8½△ ABC umgeschriebenen Kegelschnitte, deren

*) Vergl. Stoll, Z. f. math. U., Heft 4 v. J. 1900, Aufg. 1879.