1= pa qb= az b àu+ a22 bz 52+†. az bz s= O. Ebenso wird 2= qt pe= al bi 5.+ 22 bi 5+. a1 bz 8s— 0, 3= pe da= al bz E1+ a2 be 5 †. a2 ba 5s= 0, 4= da Pb=² a1 bz E+ as be 5+. as bs 8s= 0, 5=☚ pb qe E a1 b. 5u+†fh al ba+†. a b= 0. 6= qe Da= az bi E+. a2 be 2 † as bz 5s= 0.
Denkt man sich nun die Punkte 1 und 4, 2 und 5, 3 und 6 durch gerade Linien verbunden, so gilt für jeden Punkt dieser Verbindungslinien entsprechend die Gl.: hi Pa qb+ e da Db= 0; hi q pe+ be Pb de= 0; VI Pe da+† w de ba= 0. In ihnen können die Grössen X, u, y alle möglichen reellen Werte annehmen. Setzt man: 44= 91 hz, A1= a, b.; pl= 32 ba, 92= ag ba; vi= as bi,= au ba, so werden die vorstehenden Gl. identisch. Die angegebenen Verbindungslinien schneiden
sich also in einem Punkte R. Seine Gl. lautet:
R(az ba+ az ba) al b. 1+(az b:+ a1 bz) a2 be+†2(ai bz+†fh a2 bi) a3 bz 53= 0. Hiermit ist die Behauptung erwiesen:
R ist der Brianchonpunkt des durch die Ecktransversalen von P und 0 erzeugten Sechsseits.
Ist Q der Schwerpunkt des Dreiecks A BC, so wird bi= be= bz und R nimmt die Form an:
R= ai(az+ 23) 51+ a2(as+ a1) 8+ as(a1+ 22) 4= 0.
In diesem Falle ist also R stets das Zentrum eines dem ⁸½△ ABC eingeschriebanen Kegelschnitts, der die Dreiecksseiten in den Fusspunkten der Ecktransversalen von P= a 51+ 23 5+†. az 3 0 berührt. Er hat die Gl.: Y= al a E 52+†9 a2 23 8 Es ℳ.
0.
as ai 8s 5=
Interpretirt man die gewonnenen Resultate in Flächencoordinaten yi, Vz. V mit der unendlich fernen Geraden y+ ve+ ys= 0 als Einheitslinie, so erhält, man ohne weitere Rechnung folgende Sätze:—.
Zieht man in der Ebene eines Dreiecks ABC zwei beliebige Gerade P und 0, so schneiden sie die Seiten BC, CA, AB in den Punkten pa, pb. pe; qa, qb, qe Diese 6 Punkte sind die Ecken eines Pascalschen Sechsecks. R ist die zugehörige Pascallinie.
Für bz= ba= ba wird Q bä= 0 die unendlich ferne Gerade. R stellt dann die Polare des Schwerpunktes inbezug auf einen dem ⁸βABC um geschriebenen Kegelschnitt dar, dessen Eck-Tangenten die Gegenseiten in Punkten treffen, welche in der Geraden P= O0 liegen. Er hat die Gl.:
8= ai as yI Y+† a2 as V V+† as ai V NI= 0, worin die Grössen y Flächencoordinaten darstellen.
Beispiel I. Q falle mit dem Schwerpunkt S und P mit dem Höhenschnittpunkt, H= tg+ tg B e+ tg † 5s= 0 zusammen. Dann wird