Über Brianchonpunkte im Dreieck.

Nimmt man in der Ebene eines Dreiecks A BC zwei beliebige Punkte P und Q an, so bilden ihre Ecktransversalen ein Sechsseit, in dem sich die Verbindungsgeraden der gegenüberliegenden Ecken in einem Punkte schneiden. Betrachtet man nämlich die zwei Punkte P und Q als einen in sie zerfallenden Kegelschnitt, so sind die Ecktransversalen als 6 Tangenten aufzufassen und bestimmen also ein Tangenter n- oder Brianchonsechsseit. In einem solchen Seln aber die oben erwähnten Geraden oder auch die Hauptdiagonalen durch einen Punkt. Er heisst Brianchonpunkt.

Von reichen Folgen ist der analytische Nachweis der Behauptung begleitet, da er die Gleichung des Durchsc hnittspunktes liefert. Dieser Beweis soll in trimetrischen Lanien- coordinaten mit dem Schwerpunkt als Einheitspunkt geführt werden.

Die Gleichungen der Ecken des Dreiecks A BC seien A= 5.= 0, B= 5,= 0, C= 8= 0. Dann sind die. Gl. zweier beliebigen Punkte P und Q in der Ebene des Dreiecks:

P= ai.+ a2 8+† as 53= 0 und QG= b 51+ bz e+†f bz 5= 0.

Die Grössen a und b haben beliebige konstante Werte. Die Ecktransversalen von und Q seien pa, pb, pe und qa, qb, de. Ihre Schnittpunkte sollen durch die Zahlen bis 6 oder auch durch Nebeneinandersetzen der Transversalen bezeichnet werden, welche sie erzeugen, also z. B. der Schnitt von pa mit qv durch pa qy u. s. f.

P 1

Dann hat man folgende den Zahlen 1 bis 6 entsprechende Punkte zu betrachten:

PDa db;, b Pe, Pe(a, da Pb;, pPb de, de Pa.

Jeder Punkt von pa hat die Gl.: 1 5.+ a2 8.+ as 5s= 0, während jeder Punkt, von qy der Gl. bi 5.+ 2 5+ bz= O genügt. In diesen Gl. können X und Az alle Werte von— 0 bis+ o annehmen. Für 1= ag bi: bg und= 22 ba: ag werden die zwei Gl. identisch. Demnach hat der Schnitt von pa und qv die Gl.: