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dreieck ähnlich. In gleicher Weise würde das zweite Aussendreieck dem zweiten inneren Berührungsdreieck ähnlich sein. Bezeichnen wir mit ſ, den Factor, mit welchem die Seite des zweiten Aussendreiecks zu multipliciren ist, damit man die homologe Seite des zweiten inneren Berührungsdreiecks erhalte, und mit-, den Factor, welcher die Seite des zweiten äussern Berührungsdreiecks in die homologe Seite des zweiten Innendreiecks verwandelt, so ergibt sich durch eine leichte Rechnung ſ,= 4 sin la sin 1 sin ½ sin 4 (R— La) sin ½(R— ½9) sin ½(R—= H, 9.=—%Sa cos cos y cos 2 α 2 6 cos 2. Ferner gelangen wir durch Anwendung von 5. zu folgenden Sätzen. Die Tangenten der Winkel des Hauptdreiecks stehen mit den den jedesmaligen Scheitel nichttreffenden gleichen Segmenten der Seiten des äusseren Berührungs- dreiecks in Proportion. Die Secanten der Winkel des Hauptdreiecks verhalten sich wie die Entfernungen des Mittelpunktes des umschriebe- nen Kreises von den gegenüberliegenden Ecken des äussern Berührungs- dreiecks. In beiden Fällen istr der constante Verhältnissquotient. Die Tangenten der doppelten Dreieckswinkel sind den gleichen Segmenten der Seiten des äusseren Berührungsdreiecks proportional. Die Secanten der dop- pelten Dreieckswinkel verhalten sich wie die Entfernungen des Mittel- punktes des dem ersten äussern Berührungsdreieck umschriebenen Krei- ses von den gegenüberliegenden Ecken des zweiten. In den beiden letzten Fällen ist der constante Verhältnissquotient Ir sec a sec ν sec y.

16. Da die Eckdreiecke A FG, B EG und CEF(Fig. 4.) dem ganzen Dreieck Ad BC ähnlich sind, und die Flächenräume derselben aus dem Flächenraume des letztern durch Multiplication mit cos a*, cos„ν, cos hervorgehen, so verhalten sich die Co- sinus der Winkel des Hauptdreiecks, wie irgend zwei homologe Seiten, Höhen, Segmente, Kreisradien der Eckdreiecke. Solche homologe Seiten, Höhen, Segmente, Kreisradien verhalten sich bei den Eckdrei- ecken des Innendreiecks wie die Cosinus der doppelten, und bei den Eckdreiecken des Aussendreiecks wie die Sinus der halben Winkel des Hauptdreiecks. Der constante Verhältnissquotient ist stets das in Rede stehende Stück des Hauptdreiecks, Innendreiecks oder Aussendreiecks.

17. Bisher betrachteten wir nur Linien, um dieselben mit trigonometrischen Functionen zu vergleichen; es eignen sich indessen auch Flächenräume hierzu. So ist »7 20. AE 2 40. Lh Z 4E. 26= 2 71. Daher sin a c0s α sin ⁵% c08 Gβ siny cο

Fig. 1. nach 1. und 2.