Secanten der halben Dreieckswinkel stehen mit den Verbindungslinien ihrer Scheitel und der gegenüberliegenden Mittelpunkte der angeschrie-
benen Kreise in Proportion. Nach 3., woraus sich dieses ergibt, ist 41— sec α 2 ·Z= 926= 4 r s la cos 16 cs 1„. sec 1 sec k„ 3
12. Dass sich die Tangenten der halben Dreieckswinkel wie die Halbmesser der angeschriebenen Kreise verhalten, folgt aus 10., indem cot(N— L)= lang aæ. Bezeichnen wir die Halbmesser der angeschriebenen Kreise an den Dreiecksseiten a, b, e der Reihe nach mit 0, 0“, 0““, so dass E(Fig. 5.) der Mittelpunkt des Kreises von dem Halbmesser O“ ist, so haben wir, indem wir BC auf doppelte Weise aus- drücken 47 sim 1a cos ½aσοε(tang 1ε+ lang y). Somit ist Of 47 sin aœν οs ½ α),
——— eee Po Se e= 47 cos la c0s 15 cos y.
13. Hat man wieder in das Dreieck A B C(Fig. 6.) einen Kreis beschrieben und die Berührungspunkte E, F, G unter sich zu einem Dreieck verbunden, so wollen wir dieses Dreieck das innere Berührungsdreieck von A[ C, umgekehrt aber das Dreieck A BC das äussere Berührungsdreieck von FEG nennen. Das innere Berührungsdreieck hat wie das Aussendreieck die Winkel Nℛ— La, N— 1½6, R— y und ist somit dem Aussendreieck ühnlich. Für das innere Berührungsdreieck ist D der Mit- telpunkt das umschriebenen Kreises. Da nun G= 2 D Fsin(R— L), so folgt nach 5. FG= 4 1 sin la sin 16 sin ly. In Fig. 5. war nach 7. B C= FG cos(— ¼ a), also FG=.
sin ½ chem man eine Seite des Aussendreiecks multipliciren muss, um die homologe Seite des innern Berührungsdreiecks zu erhalten, ſi= 2 sin La sin S sin 2y. Durch Benutzung von 1. 2. 3. 4. erhält man die folgenden Sätze. Die Cosinus der halben Drei- eckswinkel sind proportional den diese Winkel überspannenden Seiten
r ,o en cos Ja— cs 18 cs 17 =Sr sin la sin 1% sin ky. Die Sinus der halben Dreieckswinkel verhalten sich wie die Perpendikel vom Mittelpunkte des eingeschriebenen Krei- ses auf die Seiten des innern Berührungsdreiecks,(der constante Verhält- nissquotient ist 4 r sin da sin 4 sin y), oder auch wie die oberen Höhensegmente
= 4r cos la. Hieraus finden wir, wenn wirf, den Factor nennen, mit wel-
des inneren Berührungsdreiecks. Fig. 6. ist
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