mh 0(0 — wosec 1— cosec y nen Kreis stehen mit den Cotangenten der halben Dreieckswinkel, von denen sie ausgehen, in Proportion. Die Entfernungen der Eckpunkte von dem Mittelpunkte des eingeschriebenen Kreises verhalten sich wie die Cosecanten der halben Dreieckswinkel. Für die Seite a hat man den doppelten Ausdruck 2 r sin æ und(cot ½¾+ cot ½p). Hieraus folgt 2 7 sin

4— cot ½ε+ι c‿½„

6. Sind in dem Dreieck A BC(Fig. 4.) wieder die drei Höhen gezogen, und werden die Fusspunkte E, F, G derselben zu einem neuen Dreieck verbunden, so soll dieses Dreieck das Innendreieck oder vollständiger das erste Innendreieck des ursprünglichen Dreiecks A B C genannt werden. Für das Dreieck EFG lässt sich wie- der ein Innendreieck zeichnen, u. s. w. So entsteht ein zweites, drittes u. s. w. Innendreieck des Dreiecks A C. Die Dreiecke AEG, BG E, CEF sind, wie leicht erhellt, einander und dem ganzen Dreieck A8 C ähnlich, so dass z. B. ¶GäßBEG=Z CEF. Daher werden die Winkel des Innendreiecks durch die Linien FD, FD, GD halbirt. Zugleich wird ¶ FEG= 2 HR— 2 9, Z GEE= 2 R— 28, Z EGE= 2— 2. Die trigonometrischen Functionen dieser Winkel unterscheiden sich von den gleichnamigen Functionen der doppelten Dreieckswinkel höchstens im Vorzeichen. Daher verhalten sich die Sinus der doppelten Winkel des Hauptdreiecks wie die die letzteren überspannenden Seiten des Innendreiecks.

=O. Die Berührungslinien an den eingeschriebe-

= 4 sin La sin sin Ly.

7. Der constante Verhältnissquotient Kee(Fig. 4.) ist nach 2. der doppelte . sin 2 α

Radius des dem Innendreieck umschriebenen Kreises. Wir gelangen zu der Kenntniss dieses Radius auf folgende Weise. Da der Inhalt F eines Dreiecks durch kb c sin

4 ⸗7—47 nur das Product der drei Seiten des Innendreiecks durch den vierfachen Flächen- raum desselben dividiren, um den gesuchten Radius zu haben. Nun ist A G= 5 cos a, A F= ccos x, folglich FG= a cos æx, Dreieck A FG= F cos*, Dreieck GB E= Fcos 5ν, Dreieck FOCF= Fcos)y:, mithin Dreieck EFG= F(I— cos a*— οειν— c0s„²) = 2 Fcos cos cos y. Sowie nun FG= a cosæ war, so ist E G= 5 cos, EF=

c cos y. Das Product der drei Seiten ist also abc cosax ς αᷣσαᷣν. Wird dieses durch 1*

.. 1 a 4— 10 uat. ausgedriickt wird, aber sina== 2so ist F= 2 42 r= A 8. Wir dürfen also 7