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3. Da die Höhen sich umgekehrt verhalten wie die Seiten, auf welchen sie stehen, und auch die Cosecanten umgekehrt wie die Sinus, so müssen die Höhen des Dreiecks den Cosecanten der Winkel, durch welche sie gehen, proportional sein.
Da 5b=— 2 sins und A E(Fig. 2.)— b sin y, so ist A E= 27 sia fsny, A A. COoséec
BA— E— 2 7 sin sin β sin„.
cosec ⁵ cosec„
4. Die drei Höhen unseres Dreiecks schneiden sich Fig. 2. in dem Punkte D) und werden in demselben in obere und untere Segmente zerlegt. Die untern Segmente sind, da z. B. ₰ A D F E D E, den oberen umgekehrt proportional. Zieht man ferner durch jeden Winkelpunkt eine Pirallellinie mit der gêgeniiberliegenden Seite, so entsteht das dem ursprünglichen ähnliche Dreieck HK. Für dieses ist D der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Die Perpendikel von diesem Mittelpunkt auf die Seiten des Dreiecks II.I K sind die oberen Höhensegmente des Dreiecks 1 EB C. Daher verhalten sich auch die obern Höhensegmente eines Dreiecks wie die Cosinus der Dreieckswinkel, durch welche sie gehen. Weil sich nun die Secanten umge- kehrt wie die Cosinus verhalten, so sind die untern Höhensegmente eines Dreiecks den Secanten der Winkel, von welchen sie kommen, propor- tional. Das Dreieck HI K hat, mit dem Dreieck A B0 verglichen, die doppelten
linearen Dimensionen desselben. Es ist daher 45282 r cos g. Somit ist— — c058 α ——= 2r. Nun war 3. A E—r 27 sin sin y, folglich ist DE= 27(sin s c08 5 cos„. 22 D 8 1 9„— 0) r 17 c08 β cos y und A— T e— 27 8 α5 α⁸9.
sec a sech Sec„ Das coustante Product von einem zusammengehörigen oberen und untern Höhensegment wird durch 4 1 αοsa cs cos y ausgedrückt.
5. Beschreibt man einen Kreis(Fig. 3.) in das Dreieck A B C, so werden die Seiten in den Berührungspunkten E, F, G so getheilt, dass stets die von demselben Eckpunkte ausgehenden Berührungslinien gleich sind. A e A0, BG= BE, CE= CF Nennen wir den Halbmesser des eingeschriebenen Kreises o, so ist A EF= Ocot la,
AE GA BG CE 150
— 12. M at——— und 26 AD= g cosec la an ha e c01 15 cot 1y— ua aueh cosec a