Uber die Proportionalität von Stücken des geradlinigen Dreiecks mit den trigonometrischen Functionen der ganzen, halben und doppelten Winkel desselben.

1. Der Fundamentalsatz der ebenen Trigonometrie, nach welchem die Sinus der Winkel eines ebenen Dreiecks mit den gegenüberliegenden Seiten desselben proportional sind, veranlasst zu der Frage, ob es auch Dreiecksstücke gebe, mit denen die Cosinus, die Tangenten und die übrigen trigonometrischen Functio- nen der Dreieckswinkel proportional seien. Wenn man es unternimmt, diese Frage zu beantworten, so findet man, wie dieses auch wohl in andern Fällen zu geschehen pflegt, mehr als man anfangs suchte. Es ergeben sich dann bald auch Dreiecksstücke, die den trigonometrischen Functionen der halben, doppelten und in sonstiger Weise abge- änderten Dreieckswinkel proportional sind. Die Mittheilung von dergleichen Dreiecks- stücken dürfte in den Schranken, die sich dieser Aufsatz setzt, nicht ganz ohne ein allgemeineres Interesse sein..

2. Wir werden unser Dreieck stets mit A8 C, seine Winkel mit a,, y und seine Seiten mit a, b, c bezeichnen. Der Halbmesser des umschriebenen Kreises heisse 7. In Fig. 1. sind auch noch die Perpendikel von dem Mittelpunkte dieses Kreises auf die einzelnen Seiten gefälllt. Es ist Z CDE= a, a= 2 r sin a, DE=r cos a. Wegen der letzten Gleichung verhalten sich die Perpendikel von dem Mittelpunkte des umschriebenen Kreises auf die Dreiecksseiten wie die Cosinus der

diesen Dreiecksseiten gegenüberliegenden Winkel. So wie

a 5 c 2 4 οEA D. D6G

8———— 2!, so ist—— sin a sin 9½ sin y cos a c08 Gβ cos

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