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Gliede anhebt; 3) dass die Glieder der Periode bei der Entwickelung von— X“ in umgekehrter Ordnung im Vergleich mit der Entwickelung von«" anzutreffen sind. Bei 1) und 2) begründet jedoch gu= 0 einé Ausnahme zu Gunsten von g“; uund wäre gar gleichzeitig g und g“= 0, so würde der Kettenbruch[20] die Form 9+‿+ 1 8+rn.. 1

g.+ 5,. le

g“n+...

annehmen und nicht einmal ga und g“a zu den periodischen Gliedern gehören.

Für den Fall, dass—ꝑ̃— X, oder in der Gleichung[I] B.— 0 wäre, würde auch g= g“2 und allgemein ge= g“n sein. Der in der Periode vorkom- mende Nenner ga+ g“ verwandelt sich also bei reinen Gleichungen in 2 gr. Da auf den genannten Nenner unmittelbar g“s folgt, so schliesst mit demselben die erste Periode, und die ausser 2 g“n vorhandenen Nenner haben eine symmetrische Anord- nung. Setzt man 2 gn= g/+„ so ereine sich aus[löl leicht A,= 1, B.= ga, und dann aus[6] und[7] B.+,= g4= Ba, A+= An-r.

Wir kommen nun zu einer Betrachtung der Gleichung It] unter der besondern Voraussetzung, dass die Wurzeln derselben in Absicht auf Vorzeichen übereinstimmen. Alsdann können wir dadurch, dass wir wieder nöthigenfalls das Zeichen des mittleren Gliedes in das entgegengesetzte verwandeln, bewirken, dass beide Wurzeln positiv sind. Machen wir dann A. auch positiv, so ist Bo positiv, aber A negativ; machen wir Ao negativ, so ist B, negativ und A-, positiv. Auf ähnliche Weise wird in den abgeleiteten Gleichungen A,-, mit A, und B, im Zeichen nicht ühereinstimmen, so lange beide Wurzeln der abgeleiteten Gleichung positiv sind. Dieses wird also nament- lich auch dann zu erwarten sein, wenn die Entwickelungen beider Werthe von x, in Kettenbrüche in einer gewissen Zahl von Anfangsgliedern, die für den Augenblick gi, gz u. s. w. heissen sollen, vollkommen übereinstimmten, und man nun nach[2] die Gleichungen für XI, X. u. s. w. bilden wollte. Weil jedoch eine solche Uebereinstim- mung beider Entwickelungen irgendwo ihre Grenze haben muss, da eine vollständige Uebereinstimmung der beiden Wurzeln gegen die vorausgesetzte Radionatitat der Coefſ- cienten streiten würde; so wollen wir annehmen, diese Grenze sei bei ga erreicht, so dass die folgenden Glieder g/+ und g“+ verschiedene Zahlen bedeuten. Dann erhellt aus dieser letzten Verschiedenheit, dass die vorhergehenden übereinstimmenden Glieder nicht schon periodisch sein konnten. Vielmehr gilt alles, was sich über Zahl und Anordnung der periodischen Glieder in den Entwickelungen der Wurzelwerthe etwa sagen lässt, ebensowohl von der Gleichung

A X2— 2 BX— An-= 0 deren beide Wurzeln nicht mehr zwischen dieselben benachbarten ganzen Zahlen fallen können, als von der ursprünglichen