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Die Formeln[15] können daher nicht unzählig viele, sondern nur eine beschränkte Zahl von Polautingen haben; und es muss folglich irgend ein X' und x“s einem spätern X †+ p und X+ p ganz gleich werden, wodurch herbeigeführt wird, dass sich die

Glieder des Kettenbruchs für v. von g+ an bis einschliesslich ge+p periodisch wiederholen.

Aus dem Kettenbruch[14] ergibt sich durch eine leichte algebraische Umformung 1- 181———= g+ 1 1181 8

* 5=..e 1r 84441 gu— Xo Beabsichtigt man nun, den Werth— ve zu bestimmen, so ist auch nur der Werth

X“ von x, auf der rechten Seite der Gleichung brauchbar, und man erhält hierdurch,

so wie, wenn man dieselben Schlüsse zur Bestimmung von— anwendet, die

X+ r beiden Kettenbrüche 1 —= G* 1 g˙11+. 4 1191 82ℳ† 1— g4— X% — g/+†+ 1 X“ 900 g ,e+. 1 98ʃ+ 1 g*1— X%

Da der letztere dieser Keitenbrüche von dem Gliede g“n an dem ersteren, und also sich selbst, vom Anfange an gerechnet, gleich wird; so muss er vollkommen periodisch sein,

d. h. er kann keine Glieder enthalten, die der Periode nicht angehörten. Setzt man aber aus[131 den Werth von— X%, so ist

[20]——&++˖ 1 8½+‿‿ε£☚ 8 82+ 1 g2 g. 1. 1 876 4. ⸗·1 19 T 85. Hieraus ergibt sich: 1) dass gi und g“s nicht einzeln, sondern nur die Summe derselben zu den sich periodisch wiederholenden Gliedern gehört; 2) dass sowohl in der Entwickelung von X, als in der von—" das Periodische mit dem zweiten