— 17—

Weil aber Ad= DD, BB=(B, so folgt hieraus a. sin AB, BD= e. sin CD„BD. Es wäre also sin AFE’ sin AB, BD sin DFE sin CD, BD Nun ist aber AFE+ DFCG= AB, BD+ CD, BD. Es muss sonach X AFEG= AB, BD

sein, was zu beweisen war.

Zusätze: 1) In einem Viereck mit gleichen Diagonalen stehen FE'’ und GE’ senkrecht aufeinander. 2) Durch eine einfache Rechnung findet man, dass

BEG= tg FG,'G= 2N. dnr igt Daraus ergiebt sich die bemerkenswerte Formel M“ Na f— 4 tg BEC.

3) Die Linie E“ F(bzw. E’G) ist doppelt so weit von E entfernt als BD(bzw. AC).

Beweis. Weil EE= 12.

Wenn M= N, so sind die 3 Geraden E, BD und EP.. parallel und zwar läuft BD genau in der Mitte zwischen E' und EP.c. Dasselbe ist der Fall hinsichtlich der Linien EG, AC und EPna.(Fig. II.)

§ 24. Die folgenden Gruppen von je 3 Geraden schneiden sich in dem nämlichen Punkte: AN, BM, GE’; DM, CN, GE“; AN, DM, FE'’ BM, CN, FE’.(Fig. IV.)

Beweis. Die Gl. der Linien AN, BM, GE’ sind: Aϑ APD= APB, A APB= BPC, APD= BPC. Ein Punkt P also, der zweien dieser Linien angehört, muss auch auf der dritten liegen.

Bemerkung. Wenn man die Gl. APB= APD als den analytischen Ausdruck der Mittellinie AN des Dreiecks ABD betrachten kann, so darf die Gl. △ APB+ APD= o als Ausdruck einer durch A gehenden, parallel zu BD gezogenen Linie angesehen werden. (APB und APD haben die gemeinschaftliche Basis AP, während die Ecken B und D auf einer Parallelen zu AP liegen.) Sie bildet mit AB, AD und AN ein harmonisches Strahlenbüschel.

Die Gl. der Linien, welche durch die Ecken des Vierecks parallel zu den Diagonalen gezogen werden, lauten sonach:

APD+ APB A& APB+ BePC A& BPC+ CbPhD A CPD+ DPA 0

§ 25. Legt man durch die Ecken des Vierecks ein Parallelogramm, dessen Seiteu den Diagonalen AC und BD parallel sind, so fallen die Ecken desselben auf FE'“ und GE“.

Beweis: Die durch A und B gehenden Seiten haben die Gl. A APD+ APB= o und A APB+ CPB= o. Soll P also den Schnittpunkt dieser Geraden, d. h. eine Ecke des Parallogramms bedeuten, so muss △ APD= CPB sein. Diese Ecke liegt mithin auf GE“’.

§ 26. Die Strecken MN, ME“, NE'’ werden bzw. durch FE' und GEG’“, AN und CR, BM und DM harmoniscb geteilt..

Beweis. Die 4 Schnittpunkte, von denen in§ 24 die Rede ist, bilden ein vollständiges Viereck mit den Diagonalpunkten M, N und E.

§ 27. Die Gl. 3. AAPB= BPC+ CPD+ DpPA bedeutet eine Parallele zu AB.

Beweis. Da APB+ BPC+(CPD+ DPA= f ist, so kann die Gl. auch ge-

schrieben werden: △2 APB= 4.u. s. w.

0 0 0

1ll-