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Bemerkung. Soll die obige Gl. ganz unbeschränkte Gültigkeit erlangen, soll sie also auch für solche Punkte von MN, welche ausserhalb des Viercks liegen, brauchbar sein, so müssen die Masszahlen der Flächeninhalte mit geeigneten Vorzeichen versehen werden. In dieser Beziehung sind die folgenden Bestimmungen zu treffen:

Das Dreieck APB z. B. wurde bisher positiv genommen, wenn P in das Innere des Vierecks, also links von AB, fiel. Diese Festsetzung muss natürlich auch weiter beibehalten werden, jedoch soll von jetzt an der Lage im Innern des Vierecks nur noch eine nebensätz- liche Bedeutung beigelegt werden; entscheidend für das Vorzeichen soll blos der Umstand sein, ob P links oder rechts von der ins Unendliche verlängert gedachten Seite AB sich befindet.— Bezüglich der anderen Dreiecke gelten ganz ähnliche Zeichenregeln.

Zusatz. Um die Anwendbarkeit der Formel an einem Beispiel zu erläutern, will ich den Satz beweisen, dass in einem vollständigen Vierseit jede Diagonale durch die Verbindungs- linie der Mittelpunkte der beiden anderen Diagonalen halbirt wird. Der Anschaulichkeit wegen mögen im vorliegenden Fall die Dreiecke mit ihren absoluten Werten in die Gl. ein- treten, sodass die vorkommenden Zeichen lediglich als Operationszeichen zu betrachten sind. Für den zu untersuchenden Punkt X(Eig. III) lautet alsdann dic Gl.

△AXB— CXD= AXD— BXC oder AAAXF— BXF—(DXF— CXF)= AXG— DXG—(BXG— CXG) Dafür kann man auch schreiben: XF(H.— H— Ha+ f.)= XG(H.— Ha— H+ Ho), d. h. XF= XG.

§ 21. Die Geraden NE' und ME⸗(Fig. IV) sind die Oerter derjenigen Punkte, welche durch die Gl. △ APB+ BPC= APD+ CPD ä=

AAPB+ APD= BPO+ CPD=

dargestellt werden. Beweis sehr leicht; es ist blos zu beachten, dass NE’ſ M und ME’N.

§ 22. Für die Geraden EiF und E’G gelten die Gl. APB=Y CPD und APD— BPC.

Beweis. Weil E’ sowohl auf NE’ als auch auf ME'’ liegt, so ist nach§ 21 △ AEG.B BE’C= AED+ CED AE AE”D= BEG’C+(E’, woraus folgt: AEB= CED △ AED= BEC. Da sich nun in Bezug auf irgend einen Punkt P der Geraden E⸗ die auf die Grundlinien AB und CD bezogenen Ilöhen der Dreiecke APB und CPD gerade so verhalten, wie die Höhen der Dreiecke AE’B und CE’D, so müssen die beiden ersteren Dreiecke gleich sein, weil die beiden letzteren es sind. Bemerkung. Die Gerade FE’ würde man auch erhalten, wenn die Seiten a und c von F aus auf den Geraden FA und FD abgetragen und die bezüglichen Endpunkte Y und Z ver- bunden würden. Die von F ausgehende Mittellinie des Dreiecks FYZ wäre dann die Gerade FE..

§ 23. FE ist parallel BD, GE“ parallel AC. Beweis. Da. AEB= CE'’h, so ist a. FE’. sin AFE= c.. FE. sin DFE“, mithin sin AFE c sin DFE a BD bildet mit AB einen Winkel, der sich leicht in folgender Weise ausdrücken lässt: a. sin AB, BD= AD. sin ADB— BB. sin BBD

c. sin CD, BD= DD. sin DDB—(B. sin CBD