8o ist

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§ 12. Die Centren der Umkreise der Dreiecke ABE, BCE, CDE, DAE bilden ein Parallelogramm, dessen Diagonalenschnittpunkt Z das Centrum des Umkreises von EMN ist.

Beweis: Bedeuten A., B., C., D, die Mittelpunkte der Diagonalenstücke EA, EB, EC, ED, so bilden die Lote, welche in diesen Punkten errichtet werden, das in Rede stehende Parallelogramm. Den Eigenschaften dieser Vierecke zufolge halbirt nun das von Z auf A0 gefällte Lot die Strecke A,C,. Wenn also der Fusspunkt dieses Lotes mit Za bezeichnet wird, 9„ Bz.. C,g. CRe S Hi i

2 2 Za halbirt mithin die Strecke EM. Ebenso wird natürlich Za die Strecke EN halbiren.

§ 13. Die Punkte E, Z und Z'(siehe§ 5) liegen in einer Geraden und zwar halbirt Z die Strecke EZ“.

Beweis: Da EMN OD EMN'’ und E Aehnlichkeitspunkt ist, so müssen E, Z und Z“ in gerader Linie liegen; da ferner die Seiten der Dreiecke sich verhalten wie 1: 2, so muss auch EZ: EZ’= 1:2 sein.

„Zusatz. Wenn M= N, so ist also Z der Mittelpunkt des Rechtecks LP Pmn PbA(Siehe § 4, Zusatz 5). Ein Kreis mit dem Centrum Z und dem Durchmesser P. Ppa geht mithin durch die 6 Punkte E, Pac, Pma, Ppa, M und N.(Fig. II.)

Der Beweis folgt auch leicht aus der Bemerkung, dass im vorliegenden Falle EP die gemeinschaftliche Seite der beiden Sehnenvierecke EPa AB und EP DC ist. Das- in der Mitte von EPac errichtete Lot geht deshalb durch die Centren der Umkreise der Dreiecke AEB und CED. Auf ihr liegt folglich auch Z. Aus denselben Gründen liegt Z auch auf dem in der Mitte von EPpa errichteten Lote. Weil aber ¶ E Pa Ppa rechtwinklig ist, so sind jene Lote den Catheten parallel, schneiden sich in Folge dessen in der Mitte der Hypotenuse.

§ 14. Die Schwerpunkte der Dreiecke ABE, BCE, CDE, DAE bilden ein Parallogramm, dessen Diagonalenschnittpunkt 8 der Schwerpunkt des Dreiecks EMN ist.

Die Schwerpunkte der Dreiecke ABC, BCD, CDA, EAB bilden ein Viereck, dessen Diagonalenschnittpunkt S' der Schwerpunkt des Dreiecks EM⸗N' ist.

Die Punkte E, S und 8“ liegen in gerader Linie und zwar halbirt 8 die Strecke ES“

Bemerkung: Diese 3 Sätze wurden bereits in§ 11 bewiesen. Die dort erbrachten Beweise lassen sich übrigens leicht durch andere, die ganz elementarer Natur sind, ersetzen.

§ 15. Die Höhenschnittpunkte der Dreiecke ABE, BOE, CDE, DAE bilden ein Pa- rallogramm, dessen Diagonalenschnittpunkt H der Höhenschnittpunkt von EMN ist.

Beweis: Das in Rede stehende Parallelogramm wird durch die von den Ecken auf

die Diagonalen gefällten Lote gebildet. Die bezügl'chen Fusspunkte seien A,, B., Ca, D;

das von H auf AC gefällte Lot möge in Hna eintreffen. Ha halbirt also die Strecke C. An. Nun ist

EH=(C.Ha—(2E= Chhs— GLE= ere en we— n¹coss=— cos s= EN. coss.

Das von H auf AC gefällte Lot geht sonach durch N und ist deshalb eine Höhe des Dreiecks EMN u. s. w.

paralleler Kräfte auf, die in A, B, C.... angreifen, so ist àa+.... die Resultante und Q ihr An- griffspunkt. Die Annahme: a ‿¶% † 1....= entspricht dem Fall, wenn jene Kräfte sich auf ein Kräfte- paar reducieren. Sind a, G, Tf.... Schliesslich Masszahlen für schwere Massen, also Grössen mit denselben Vorzeichen, so ist Q der Schwerpunkt und as. PAS2+ a. PA,2 f.... das Trägheitsmoment des Systems. Letzteres bezieht sich auf eine Axe, die durch P geht und senkrecht auf der Ebene des Papieres steht. Es wurde also auch bewiesen, dass für diese Richtung das Trägheitsmoment ein Minimum wird, sobald

die Axe durch den Schwerpunkt geht und dass ferner der geometrische Ort derjenigen Axeu, die gleiche Träg- beitsmomente haben, der Mantel eines Kreiscylinders ist.

Es erscheint kaum nöthig, hier auf den„barycentrischen Calcül“, dieses berühmte Werk von Möbius, noch besonders zu verweisen.