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§ 16. Die Höhenschnittpunkte der Dreiecke AB0, B0D, CDA, CAB bilden ein Vier- eck, dessen Diagonalenschnittpunkt H“ der Höhenschnittpunkt des Dreiecks EM⸗N“ ist. Beweis: Sind V und W die föhenschnittpunkte der Dreiecke ABC und CD A, so ist VW eine Diagonale des Vierecks jener Schnittpunkte. Ich suche nun direkt zu beweisen, dass H’ auf VW liegt.](Fig. III.) Die Punkte V, H“ und W liegen auf einer Geraden, wenn die Gl. besteht: VVa— WWu VVa— HUÜII Vo W„„n HI/ VV.= AV. etg AVVe=(m- ncos:) etg A0B= Ln⸗ os⸗l lm. k M eose (n' coss— m)(m † n cos) n' sine M’— EN’coss H“H“= ElI' ctg EH'H“= EN’cos. ctg EM-N= EN’cose Sn M Les

=(EM“’— EN“ cose) ctge

WWa= CWn etg C(WWam=(n' coss— m) ctg CAD=

Va Wa= N oeoss, Va IH'm= BN’coss= n' cos⸗* Mithin ist n'(mm mn cose-m'n cose— n cosze) n(mn’ coss-mm’ †“ cose mu’ cos) VVa— WWa— nn’ sine mm’(n+ n“)— nn’(n+ n) cosse(mim“— nn’* cos² ε N nn’ sins nn“ sine 1 VVé/— WWm mm’— nn“’ cos²* alsso——— Vm Wm nn“’ sine cose mm’+ mncoss— mun coss— n²cos²²— ncos(EM’ EN“ cos*) VVn— H'Hmn==——— nsine mm+ n coss(m m EM“)— n cosze(n— EN.)

n sine Da aber m— m’= EM’(siehe§ 5) und n— EN’= n, so ist

mm’— nn’* cos²² VVn— H'Hn--—, also n sin

VV—— HHm mm’— nn’* cos?²«

1 ebenfalls=— Vm H'm nn’ sine cose

In gleicher Weise kann gezeigt werden, dass II“ auch auf der anderen Diagonale des

Vierecks der Höhenschnittpunkte liegen muss.

Zusätze.

JIeWWe ist die Tangente des Winkels, unter welcher die Diagonale AC von

1)= V.W. VW geschnitten wird. Es ist also mm’-= nn“ cos*«

tig VW,AC= m. nn. nn“ sin ε Cos s

Für ein Sehnenviereck, wo mm“= nn’ ist, ergiebt sich hieraus:

tg VW, AC= tg⸗, d. h.

X+ VW,ACG= In diesem Falle ist also die Diagonale VW der Diagonale BD parallel. Ebenso ist

natürlich VW AC.— 2) Wenn mm’= nn,, so nimmt die Differenz VVa— WWa den Wert N sins an.

Alsdann ist

VW2

Nasinze+.˖ Nacose, also VW 3

1ſ'