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eO Qo. 00 90.) d Q4A4 066( 3 ist, so sind die Vierecke Qa Qe Qa und ABCD ähnlich und in ähnlicher Lage. Die homo- logen Seiten verhalten sich wie 1: 3. Der Aehnlichkeitspunkt ist Q, resp. E. Ich ermittle noch bezüglich des hier zu untersuchenden Vierecks die Lage der Punkte Q, und Q.,, welche den beiden Ausdrücken PA2+ PB²+ PCz+ PD?²+ 2. PE= PA2+ PBZ2+ P0C2+ PD2— PEZ entsprechen. Giebt man denselben die Form (PA2+ PB2+ P0C2+ PD*)+ 2 PE:Z (PA2+ PB²+ PG²+ PD ²)— PE2 so leuchtet ohne weiteres ein, dass E, Qi, E und Q2 in gerader Linie liegen und zwar muss

nach§ 10„ 2 2 E0.= 4 † 2 1— 3 EE E0,= 1IEE 3EE sein. Q. und Q. sind mithin die Schwerpunkte der Dreiecke EMN und EM“⸗N’. Da weiter =(PA?²+ PB²+ PE²)+(PC*+ PD?*+ PE²)

dass Q. der Mittelpunkt jener Diagonalen ist, dass mithin das betreffende Viereck ein Paral- lelogramm sein wird. Hätte man die Form (PA2+ PEꝛ)-+(PB2+ P²+ PD=²+ PE?)

gewählt, so würde sich ergeben, dass Q. auf einer Geraden liegt, welche den Mittelpunkt von AE mit einem Punkte verbindet, welcher zu dem Viereck BCDE in derselben Beziehung steht, wie E zu A4B0D. Die bezügliche Strecke wird von Q, im Verhältniss von 1: 2 geteilt. In derselben Weise gelangt man zu 3 weiteren Geraden mit ganz denselben Eigenschaften.

In Bezug auf den Ausdruck für Q will ich zunächst das Glied PE eliminieren. Ich setze

a. PA2+ P02=.AC=+(+† y) Po*

und bestimme a und„ so, dass Q nach E fällt. Um diesem Zwecke entsprechen zu können, müssen a und ſ der Gl.. AE= B. CE Fensgen lis folgt:

CE PA2 † AE PG2— OE AEA“*+(CE TAE) PEz, oder m“* 512 m 2—. 92 N PA2+ MPC= mm’+ PE

Die Elimination führt jetzt zu dem Ausdruck 2 5B 2 2— m“¹ 2A2— m 2 4 PA2+ PB²+ PC2+ PD I PA M PC+ mm“.

Das constante Glied mm“ hat keinen Einfluss auf die Lage von Qa und kann deshalb weg- gelassen werden. Man erhält weiter m. PA²+(m+ m) PB2+ m’. PC?+(m m) PDꝰ und m(PA2+ PB2+ PD²)+ m(PB2+ PC²+ PD)ꝰ). Hieraus ergiebt sich, dass Q, auf der Strecke liegt, welche die Schwerpunkte der Dreiecke ABD und BOD verbindet. Diese Strecke wird im Verhältniss von m:m' geteilt. Ebenso hätte man beweisen können, dass Qa der Linie angehört, welche die Schwer- punkte der Dreiecke ABC und ADC verbindet. Q. ist mithin der Schwerpunkt des Vierecks.*)

*) Die grosse Aehnlichkeit der in den letzten Paragraphen auf rein geometrischem Wege gefundenen Resultate mit gewissen Sätzen der Mechanik ist sehr auffällig. Fasst man nämlich a, 8, T... als Masszahlen