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Man kann indessen jene Summe auch in folgender Weise schreiben: 8. AB2 A0². BC*² 2. 2 1 Stre n+(A+‿+ POa* † 1. PD?,
wo 02 in bekannter Beziehung zu ⁄ ABC steht.
. 6 6 7) 5 2 2„ 5112 Da ferner(a-+†‿. ½+) PQa*+. PD*= re De., GAt⸗
so fällt Punkt Q auf auf DQa und zwar teilt er diese Strecke in die Segmente 2— 8+: — ueoD PDG= DO r 940 Qa a r und D0 Qa 2 r H
In gleicher Weise lässt sich zeigen, dass Q auch auf den Linien A0., BOp, und C0 liegt. Q ist mithin der Schnittpunkt der 7 Geraden A,C,, B.D, M.N., A0, B0, CO., DQa.
Sobald also der Ausdruck a. PA2+ 8. PB?+. PO+ 2. PDꝰ gegeben ist, so kann der Punkt Q leicht ermittelt werden. Die umgekehrte Aufgabe, zu einem gegebenen Punkte den Ausdruck zu suchen, lässt jedoch unendlich viele Lösungen zu, weshalb hier von einer charakteristischen Function nicht die Rede sein kann. Legt man nämlich durch Q eine beliebige Gerade, welche die Seiten AB und CD in X und Y schneiden möge, so ist die Lage von Q durch die bezüglichen Segmente bestimmt. Die Wertverhältnisse für die Unbekannten d., G, 7, ergeben sich aus den Gl. æ. AX=. BX, T. CY= 2. DX,(4)XO=+) Xo. Auf diese Weise hätte man für Q eine charakteristische Function gefunden. Ebenso lassen sich aber noch unzählig viele andere finden, da ja hinsichtlich der Construction von XY voll- ständige Willkühr herrscht. Um aus dem Ausdruck
1G. AB2² a AC2² 67. BC2 à+ B r) 5
1AE=t. E er J. 12 E D0.: 4. 3 hra. die Strecke DQa entfernen zu können, bestimme ich dieselbe durch VI, indem ich dort P nach D rücken lasse.
4. DA?+ 3. DB²+ 1. D02= 14 G+ A, DQa² 4 7 Daraus folgt jetzt: 4. PA²2+ 5. PB2+† 7. B02+ 2. PD2= ¹6. AB“+ 41.A0*+ 40. AD=+ 1. B0²+† 62. B*+† 1. C⸗
++s 1 † y) PQ*.. VII ++ 7 ⸗ ats ie Man gelangt endlich zu der folgenden allgemeinen Formel:
11. PAI2—.2½2. PA+..... dn. PADn2²—
N 1 2ap a Ap Ac
2*(,—+ A.,..... In) PA* . e. † n
Aus ihr lässt sich schliessen, dass die Summe linker Hand ein Minimum oder Maximum wird, wenn der bewegliche Punkt P mit Q zusammenfällt. Das erstere findet statt, wenn a †2t‿¶◻ᷣhꝗ.
. an—°, das letztere, wenn à**ꝗ φ.£‿2̈ m.... 4n= ist. Weiter ergiebt sich daraus, dass die Gl. A.. PA12+f 2. PA2+..... 4o, PAn ²2= Const. einen Kreis bedeutet, dessen Centrum in Q liegt. Wird die Coefficientensumme—%, so liegt
Q im Unendlichen, der Kreis wird unendlich gross und die Gl. 3 A.. PA † r. PAZ.... an. PAn= Const. ist unter diesen Umständen der analytische Ausdruck für eine gerade Linie.
Specialisierungen und Anwendungen:
Ist== 7=„, so stimmen die Linien AC., B De und M.N, mit den schon früher erwähnten Linien AC, BD und MN überein. Die Punkte(2.,(o, Q., Qu sind die Schwer- punkte der Dreiecke BCD, CDA, DAB, ABC; Q fällt nach E. Die Verbindungslinie einer Ecke eines Vierecks mit dem Punkte E geht also durch den Schwerpunkt des der Ecke gegen- überliegenden Dreiecks. Da ferner in diesem Falle alle Coefficienten die nämlichen Vorzeichen besitzen, liegt E immer zwischen der Ecke und dem Schwerpunkt. Insofern endlich