— 10— stanten Glieder, welch letztere ja ebenfalls ohne Einfluss auf die Lage von Q sind, so ergiebt sich schliesslich

(sin 28+ sin 2) PA2+(sin 2+ sin 2a) PB ²+(sin 2a+ sin 28) 02= da aber sin 22. PA?+ sin 28. PB²+ sin 2 P2= Z, so ist auf der Stelle ersichtlich, dass F+ Z= 8. Der Schwerpunkt liegt mithin auf FZ und zwar ist

28— 2 2. Insofern ZS auch= 31 ist,

so muss sonach F der Mittelpunkt von ZH sein.

In derselben Weise kann bewiesen werden, dass das Centrum des Inkreises von AB/O“ die Strecke IU halbiert.

Es seien X, Y und Z Punkte auf den Seiten BC, CA, AB, deren Ecktransversalen sich in Q schneiden mögen. Die zugehörige Function bezeichne ich durch α. PA²+ 8. PB2 + 7. PCz. Bestimmt man nun 3 andere Punkte X“, Y’' und Z“ derart, dass BX“= CX, CY= AY, AZ’= BZ, so schneiden sich X/A, Y“B, Z'C natürlich auch in einem Punkte(Q“) und es ist offenbar

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G.= 1. pa. 1. PE 4 2.. Ppo⸗ Man kann deshalb solche Punkte wie Q und 0' als reciproke Punkte bezeichnen. Der zu U reciproke Punkt(U“) hat sonach die Function tg. PA+ 6 8 PB+ tg PO== V. Er ist der Sechnittpunkt der nach den Berührungspunkten des Inkreises gezogenen Eck- transversalen. Werden die zu I und H reciproken Punkte mit I“ und H bezeichnet, so ist offenbar 1= U X+ U H= U— U◻ Die 4 Punkte U, I“, U“, H“ liegen also in einer Geraden und sind harmonisch. Für den Grebe'schen Punkt G ergiebt sich G= sinza. PA2+ sin?g. PBꝰ²+ sin², P0(-². Setzazt man K= cosza. PA²+ cosꝛg. PB²+ cos², PO2 L= cos2a. PA2+ cos?ß. PB2+ cos2- P0C² so befinden sich auch K, S, G, L in einer Geraden und sind ebenfalls harmonisch.. Die Rechnung hat im gegenwärtigen Paragraphen die Aufmerksamkeit auf gewisse Punkte gelenkt, welche bisher keine Beachtung gefunden hatten. Es dürfte von Interesse sein, die Frage zu erörtern, ob diese Punkte auch in rein geometrischer Beziehung bemerkenswerte Eigenschaften besitzen, ob sie überhaupt durch einfache Constructionen gefunden werden können. § 11. Die Summe. PA2+. PB2+ T. PG²+ à. PPD?² kann übergeführt werden in 2*.AB²+(à+. B)PA*+. CD=+(+„PC., wo A. und C, Punkte auf den Seiten AB und CD bedeuten. Die bezüglichen Segmente AA,, BA, CC.,, DC, haben die Werte Aß L=e, BA„,(D D. 48; 4; 142 1 Eine weitere Umwandlung führt zu 4½ 7( B 2) 9 2 — AB2 CD LA,C, ²(a„+) PO“². a+ß B 2 r 1C42+ er Q gehört der Geraden AC. an und zwar ist 2 2 † A,0= A,C AAeCGO= C :c= AaGra.T- 5, 3⸗2= Wude.e Fasst man die Glieder der ursprünglichen Summe in anderer Weise zusammen, so er- giebt sich, dass Q auch auf den Linien B. D. und M, Na liegt, in Bezug auf welche die Seg- mentenwerte leicht durch Analogie gefunden werden können.