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in die für 8 charakteristische Function überführen lassen, d. h. es wird dann ein Wert für gefunden werden können, welcher gleichzeitig in die beiden Gl. sin 2a+‿. tga= sin 28+.„tgß=
sin 2+ tgf passt. Aus der einen Gl findet man
sin 28— sin 22 tga.— tgß welcher Wert offenbar auch der zweiten Gl. genügt. S liegt mithin auf ZH. Da weiter „= sin 22+ sin 23+ sin 2= 4 sina sinß sinf und ο,= 2cosa coss cosy(tga+†‿ tgs. tgy)=
2sin« sinß siny ist, so wird
28 6 sin a sinß sin 3 sein, was zu beweisen war. Weil s und ⁶, gleiche Vorzeichen haben, so liegt 8 stets zwischen Z und H. Ganz derselbe Satz besteht auch hinsichtlich der Punkte I, S und U. Hier wäre sina. PA2+ sinß. PB ²+ siny. PC2+ eotg 3.PA²+ etg. 5. PB?+ etg 2. PCy)
2
= 2 cosa cosß cos],
ein Keinin! 2l ZH
in die für S charakteristische Function überzuführen. Man findet:
— 2 in K. in.. ain⸗L..= AcDs.A.C0s B08 L2— 2 2u7 x= 2sin 2 sin 2 sin 6= 4cos 2 cos 2 c08 2 20— Zoos oos 2 cos- 10U
Auch in diesem Falle ist also 18= 3 Die beiden Sätze lassen sich noch in folgender Weise erweitern: Betrachtet man nämlich die Formeln sin 4n a+ sin 4n+ sin 4n=— 4sin 2a sin 28 sin 2„ sin(4n+ 1)4+ sin(4n+ 1)86+ sin(4n+† 1)= 4 cos 4 12 cos 42 4 13 cos 44 1r
sin(4n+† 2)+ sin(4n+. 2)3+ sin(4n+† 2)= 4sin(2n †. 1) sin(2n+. 1)8 sin(2n+.˖ 1)„ ;.— 4n+ 3 4n+3 4n+ 3 sin(4n+ 3)a+ sin(4n+. 3)8+ sin(4n+ 3)„=— 4 cos 2 1. cos-=2 8. cos 2 tgna+ tgnß+ tgny= tgna tgnß tgnr 2 1 2n+ 1 8
ig2n 1,— etg s— g2n 4 ly— is2n 1 1s2n13 s2n 1Ir
und bezeichnet die Stspyechenden charakt. Functionen mit Z4n, I4n †l, Zan+†2 lan † Hn, Un+' 80 haben die Punkte
249 8, H
Izn-1 8, Van 4.1
Zan+ 2 S, Han-1 Ian †3; 8, Uan-3
genau die nämliche gegenseitige Lage wie Z, S und H, oder wie I, S und U.
Sind K“, B“ C“ die Mittelpunkte von BC, CA, AB, so ist das Centrum des Umkreises von AB’˙O’ zugleich das Centrum des Feuerbach'schen Kreises(F) in Bezug auf ABC. Die charakt. Formel für F ist also zunächst sin 2a. PA2+ sin 286. PB“²+ sin 2p. PC 2. Nun ist aber
2 pA+ PB= 3 † 250, PB= PG,= 1. 2. rAs, PGe. PAs= 48 2PB4
Eliminiert man jetzt PO“, PA PB’' und unterdrückt die überflüssigen Factoren, sowie die con-