Die Summe a. PA²+ B. PB2. PCꝰ erreicht ihren kleinsten oder grössten Wert, wenn P nach Q fällt. Das erstere findet statt, wenn ‿. ‿f1o, das letztere, wenn a+‿ρ 6o ist.

Wenn man Gl. VI mit dem beliebigen Factor multipliciert, so ergiebt sich genau das- selbe, als wenn man die Coefficienten a,, durch zο, 6,«† ersetzt. Daraus folgt, dass hinsichtlich der Lage von Q nicht die absoluten Werte von a, B und 7, sondern nur die Verhältnisse zwischen diesen Grössen massgebend sind.— Wie oben bemerkt, gehört zu einer gegebenen Summe(Function) ein ganz bestimmter, charakteristischer Punkt(O), der leicht durch Con- struction gefunden werden kunn. Umgekehrt kann auch, sobald es sich, wie in den bisherigen Formeln, blos um 2 oder 3 feste Punkte handelt, von einem gegebenen Punkte wieder rück- wärts auf die ihm eigentümliche Function geschlossen werden. In beiden Fällen ist das Gesuchte eindeutig bestimmt; Punkt und Function sind also im Stande, sich gegenseitig zu vertreten.— Es sei z. B. in dem Dreieck ABC ein Punkt Q gegeben, dessen Function gesucht werden soll. Die Coefficienten a, und sind hier die unbekannten Grössen. Zieht man nun durch 0 2 Ecktransversalen, so ergeben sich 2 Segmenten † und in Folge dessen auch 2 Coef- ficientenverhältnisse, wodurch a, B und hinsichtlich ihrer relativen Werte eindeutig bestimmt sind.

Sind S und S, zwei Functionen, denen die Punkte Q und Q. entsprechen, so gehört zu S+ 8, ein Punkt(Qa) auf der Geraden Q.

Beweis. Der Voraussetzung wegen kann 8+ ⸗S, auch geschrieben werden:

Const.+ o. POQ*+ Const.,+˖ 701.PO*

wo 0 und o, die bezüglichen Coefficientensummen bedeuten. Da aber

3. PO*+r 21.PO42= 2n, 004*+(6+ 22,) P0*, so liegt Qo auf Q..— Die Lage von Q. bestimmt sich durch eines der beiden Segmente M... at und 0,0O..=

+,+ 19, Ich gehe zu einigen Anwendungen über. In Bezug auf den Schwerpunkt 8 des Dreiecks ist a==. Die charakteristische Function ist mithin PA2+ PB2+ P0.= 8 2+ b⸗ † e⸗ 3

Für das Centrum des Umkreises Z ergibt sich die Function sin 22. PA2+ sin 28. PB 2+ sin 27. PC2= Z*) mit dem Minimalwert 4R“ sina smß sin;(R= Radius des Umkreises). Für das Centrum des Inkreises I und den Höhenschnittpunkt H findet man die Ausdrücke sina. PAz²+ sinß. PB²+ sin. PC2= 1 tg a. PA2+ tg S. PBZ2+ ig PGC== H Der erstere hat ebenfalls den Minimalwert 4Re sin a sinß sinſ. Der letztere erreicht bei spitz- winkligen Dreiecken in H seinen kleinsten, bei stumpfwinkligen dagegen seinen grössten Wert. Derselbe ist in beiden Fällen= 8Ra sina sinß sin. 3 Unter dem 5. merkwürdigen Punkt(U) versteht man den Schnittpunkt derjenigen Eck- transversalen, welche nach den in die Dreiecksseiten(also nicht auf deren Verlängerungen) fallenden Berührungspunkten der Ankreise gezogen werden. Seine charakteristische Function ist etg 2. PA2+ ctg 4. PB²+ ctg 4. PC?2= U Der Euler'’sche Lehrsatz bezüglich der Lage der Punkte Z, S und H würde sich jetzt in folgender Weise beweisen lassen: Der Ausdruck sin 22. PA2+ sin 26 PB2+ sin 21. PC2+„(tga. PA2+ tgb PBZ2 † tgr. PC²) bedeutet einen Punkt auf ZII. Liegt nun S auf dieser Geraden, so muss sich der Ausdruck

Minimalwert*

*) In sin 22 ist unter natürlich ein Winkel und kein Coefficient zu verstehen.