— 1— Gl. kann alsdann geschrieben werden: AP2— BPz= const. In dieser Form ist sie für die vorliegenden Untersuchungen die eigentliche Fundamentalgl. der geraden Linie und wurde sie in dieser Eigenschaft auch bereits wiederholt benütat. 3) Da jetzt die G1 PA2+ 3. PB2=. PC²+ Const. .PA2+ 5. PB²2= 7. PC2+. PD+ Const. leicht auf die Form der soeben genannten Fändamentalgl. gebracht werden können, wenn 7= a+ ß oder 5+ 1= a+., so stellen sie, sobald diese Voraussetzungen erfüllt sind, eben- falls Berade Linien dar. Zusatz. Nimmt man und p einmal mit gleichen, dann aber auch mit entgegen- gesetzten Vorzeichen, so wird AB durch die entsprechenden Punkte Q harmonisch geteilt.

§ 10. Die Summe a. PA2+ 5. PB²+ 7. PC²(ABC ist ein festes Dreieck) kann

vorerst übergeführt werden in

A äA()ro.“ † PC wo Q einen Punkt auf AB bedeutet, hinsichtlich dessen die Gl. besteht α. A0Q=. Bc. Statt(a‿̈) POe²+ 1. PC? darf weiter gesetzt werden

(0 3

00°*+†(4+ 3+ 9 PO*. Q liegt auf der Ecktransversalen C0æ und ist bestimmt durch die Gl.(+) 0e 0= 1. 60 Die verschiedenen, hier in Betracht kommenden desmate werden sein:

.+ B AH, BA 6.—Co. wo unter AB. 3 das sich von A aus längs der Geraden AB erstreckende Segment ver- 0 standen werden soll. Die Länge von Qe Q z. B. 94 auf diese Weise ausgedrückt durch 00 4 3

Jetzt geht die ursprüngliche Summe über in 3 5 A ee e Oo.ν+μα οέ2α ν νσ Um(C0 dlm migren zu können, bestimme ich es mit V, indem ich dort P nach C rücken lasse.

2 32— 96— a. CA?2+ 5. CB 2²— Man gelangt jetzt leicht zu ,6 2. 2 8. 12 4 PaA⸗ f. 3. PB.,. 7. PGæ= 44 O 6+‿ † pe.

Dass es nur einen einzigen Punkt Q gibt, der e jede Lage des beliebigen Punktes P eine derartige Transformation der Summe à. PA2+ B. PB2²+. PCꝰ? zulässt, kann nach dem Verfahren in§ 2 bewiesen werden.

Hinsichtlich der Ecktransversalen A0 und B0n, auf denen Q ebenfalls liegt, können die betreffenden Sesmeute i in derselben Weise abgeleitet Nerlen.**)

Die Gl. PA2+. PB² 7. PO==. PD2+ eonst.

2. PA 6. PB. 7 PO⸗— 2.PDe f., P.—† const.

werden gerade Linien darstellen, wenn 5= 2+, oder 5+e= a+ † 1 ist.

.AB †(+ 5) C0..

*) Wenn es sich blos um diese Formel handelt, so wird man natürlich dem gebränchlichen Ableitungs- verfahren, das mit dem Unendlichen nichts zu thun hat, den Vorzug geben.

**) Insofern sich die Ecktransversalen A0a, B0* und COQe in demselben Punkte schneiden und gleich- zeitig ersichtlich ist, dass die Produkte der abwechseinden Segmente einander gleich sind, darf die obige Rechnung als ein neuer Beweis des Satzes von Ceva betrachtet werden.