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9. Um die Untersuchung zu einem gewissen Abschluss zu bringen, untersuche ich jetzt die Bedingungen, unter welchen Gl. der bisher betrachteten Form gerade Linien bedeuten. Ist AB eine gegebene Strecke, Q ein Punkt auf derselben und P ein ganz beliebiger anderer Punkt, so bestehen die Gl. AP2= AO+ PQ*— 2. A0. PQ cos AQP BP2= B*+ PQ*+ 2. B0.. PQ cos A0P Daraus folgt

1. APz+ B. BP= a. A0* † 5. B02+(a+ b) PO* — 2. PO. cos AOQP(a. A0—. BO)

wo a und h beliebige Zahlen bedeuten. Wird Q so gewählt, dass a. A0=. B0, so ist

6 à A0=— AB, B0=— AB 4+ 5 und die letzte Gl. geht über in † e2 4.APs J 8. BP:= 2A1: 4„Po-....V

Liegt Q auf der Verlängerung von AB, z. B. auf der Seite von B, so ergiebt sich a. AP2— B. BP2= 5= eAB a—) Po*

In Bezug auf die Lage von Q besteht dieselbe Bedingungsgl. wie vorhin, nämlich a. A0= 3. B0

Hinsichtlich der beiden obigen Gl. besteht nur dann eine Verschiedenheit, wenn man die Coefficienten a und h als absolute Zahlen betrachtet. Werden sie dagegen mit geeigneten Vorzeichen versehen, so lassen sie sich auf eine einzige Formel zurückfübren. Die Gl. V, welche als eigentliche Hauptgl. angesehen werden soll, genügt nämlich auch dem zweiten der betrachteten Fälle, wenn man hier jenen Grössen entgegengesetzte Vorzeichen beilegt. Als- dann geht nämlich

. AP2—. BP2— 3r A-+(— p) PQ“ über in

. he d( c (+ a) AP²+(— b) BP2= SS+[(G)+(ſ— 3)1PO..

Dadurch wird aber jetzt die bisher bestandene Uebereinstimmung hinsichtlich der Gl. A0= 8. BQ gestört. Um auch diese Störung wieder zu beseitigen, soll das Segment A0 künftig nur dann positiv zu nehmen sein, wenn es sich von A aus in der Richtung nach B zu erstreckt; für BO wird dementsprechend die Richtung von B nach A als die positive gelten. Hiernach wäre BQ im zweiten Falle negativ zu nehmen.—

Durch die getroffene Bestimmung hat auch die zur Ermittlung der Segmente nötige Gl. A0+ QB= AB ganz unbeschränkte Gültigkeit erlangt.

Haben somit a und gleiche Vorzeichen, so fällt Qzwischen A und B; im ent- gegengesetzten Falle liegt dieser Punkt auf der Verlängerung von AB. Betrachten wir weiter a als den zu A gehörigen Coefficienten, so folgt aus a. A0= z. Bo, dass sich Q immer in der Nähe desjenigen Punktes(A oder B) befindet, der den grössten Coefficienten(natürlich dem absoluten Werte nach) hat. Sind z. B. a und mit entgegengesetzten Vorzeichen versehen und ist a 5, so fällt Q auf die über A hinausgehende Verlängerung von AB.

Die Gl.. AP2+ B. BP?2= Const. repräsentiert einen Kreis mit dem Centrum Q

und dem Radius= V O 5) Gonst.— a XBE 2

Ist a+ B= o, so liegt das Centrum im Unendlichen, der Radius wird ebenfalls un- endlich und der Kreis geht in eine Gerade über, welche senkrecht auf AB steht. Die obige