durch eine derartige Bewegung die gleichen Diagonalen, oder die bezüglichen gleichen Gegen- seiten zur Deckung gebracht werden sollen.
5) Wenn M= N, so ist das Viereck EPac PmaPba ein Rechteck.— In diesem Falle wird nämlich † ABCD ein Rhombus, also ein Viereck, dessen Diagonalen AC und BD senk- recht aufeinander stehen. Zugleich ist hier AC EPpau. BDEPa. Da endlich P. Pmn 1. BD und PbaPmn.AC, so wird Pao Pmn]ACII EPba und Pba Pma BDEPac sein u. s. w. Für a= c oder b= d werden FPpd Pac Pmn oder GPa Pba Pma Rechtecke sein.
6) Wenn M= N, 80 sind ABEPc, DCEPc, BOCEPpa, ADEPpa Sehnenvierecke.— Da nämlich P ACO P.cBD, so ist+ P. A= Pc BE u. s. w.
Die Annahmen a= c und b= d führen natürlich zu entsprechenden Ergebnissen.
§ 5. Die Centren der Umkreise der Dreiecke ABC, BOD, CDA, DAB bilden ein Viereck, dessen Diagonalenschnittpunkt das Centrum des Umkreises von 2EM“N'ist.(Voraus- gesetzt wird dabei, dass AM’= EC und BN’= ED gemacht wurde.)—(Fig. I.)
Beweis: Der in Rede stehende Schnittpunkt ist offenbar Pan.(Von jetzt an werde ich diesen Punkt auch mit Z“' bezeichnen.) Die Lote ZM und Z'N gehen nämlich durch die Centren der Umkreise von ABC und ADC, bezw. ABD und BCD. Deshalb ist Z“ der Dia- gonalenschnittpunkt. Da ausserdem EM= MM“ und EN= NN“, so muss Z“ auch das Gentrum des Umkreises von EM'N“ sein.
Zusatz. Bedeutet E’ den Mittelpunkt von M⸗N“, so ist also Z'” MN'“, mithin, weil M⸗N“MN, auch Z'E“ſ PaPra(§ 4).— Z E= E⸗M’ ctg M'Z'E= E⸗M'“'. ctge= MN ctg.
§ 6. Die Strecken Pac Ppd, Pac Pmn, Ppe Pma werden bezw. durch die in M und N, B und D, A und C errichteten Lote harmonisch geteilt.(Wenn man also ABOD als vollständiges Viereck betrachtet, so werden immer die Strecken zwischen den Schnittpunkten der in der Mitte je zweier Gegenseiten errichteten Lote durch die beiden übrigen Lote harmonisch geteilt.)
Beweis: Bezeichnet man das Centrum des Umkreises von ABC mit P.ua und das in A auf a errichtete Lot mit La, so bilden die 4 Punkte P.m, Ppen, Pedm, Paan ein vollstän- diges Viereck mit den Seiten La, Ly, L., La, Lm, La und den Diagonalpunkten Pac, Pba und Pon u. 8. W.
§ 7. Die Oerter, welche durch die Gl.
3. PA?²= PB: † POs+ PD... 1 3. PB2= POPPDEPPA2... II 3. PO== PPD PA PB... 11II 3. PD2= PA PBE PC.. IV dargestellt werden, sind Lote auf den Geraden AE, BE, CE und DE. 2 2
Beweis: Nach§ 2 ist PA2+ PB² PC PD2= 1+ MN+ 4PE..
Die erste Gl. kann deshalb auch geschrieben werden 2 2 2 rA“ PG.= A 4 X Nen was zu beweisen war. § 8. Die 6 harmonischen Teilpunkte in§ 6 bilden die Ecken eines vollständigen Vierseits, dessen Seiten auf den Geraden AE, BE, CE, DE senkrecht stehen. Beweis: Die Geraden I und P.c Ppa huben die Gl. 3PA2= PB2+ PCz+ PD? und PA2+ PC²= PB2+ PPD. Bezüglich ihres Schnittpunktes ist sonach 3. PA?2= PA2+ PC2+ PC:, d. h. PA= P0C. Derselbe liegt sonach auf La und ist einer jener harmonischen Punkte. Ebenso wie die Schnittpunkte von Pac Ppa und La, Pae Pmn und La, Ppa Pma und L. in die Gerade I fallen und aus diesem Grunde ein Lot auf AE bilden, werden die Schnittpunkte von Pac Ppd Und Ln, Pae Pmn und L, PpAa Pän und L. * 7) 7 m)„„ Lv, 77„ Le
2)*) 7) n) 7) 7) d) 2 2* L. bezw. auf II, III und IV zu liegen kommen. Die Linien I, II, III, IV bilden also das in Rede stehende Vierseit. 4