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p X Tp;—.

, und in Betracht, der erste als Näherungswerth von XY, die beiden letzten

Np Np Xp

3 T

als Annäherungen von x. Versucht man, das Maass der Annäherung N— XEZ2 oder P

Xp Vp.„ 1.... 8

X, X=— X in ähnlicher Weise festzustellen, wie dies bei Kettenbrüchen 1. Ord-

P D

nung geschieht, so sieht man bald ein, dass dies Bemühen ein vergebliches ist, da zwei der Differenzen stets zusammen in einer Gleichung vorkommen und sich so gegenseitig von einander abhängig zeigen.

Bezeichnet man nämlich durch den ap vervollständigenden, ins Unendliche fortlaufenden

b... ächten Bruch— ‚hebenso durch 6 den by vervollständigenden ächten Bruch P... ———, so erhält man aus(6), durch Anwendung des Additionssatzes: ap+ 1+. Yp-r a Tp Tp 1 YIy Tp lI= 1,

Xp 1+ Xp+ GXp— 1 Xp Xp- 1 Np+ Np+ Np— 1 Ny Np- 1

und hieraus, indem man durch die Elemente der letzten Horizontale dividirt:

Yp+ 1+ 2 Yp+ 6 Yp— 1 Ip Yp 1 1 N+ † Nv+ G Np— I Ny Ny— 1 V(N Ny+ 6 Np— 1) Ny Np- 1 NXch.L.-. XP Nb 1 Xp. Np+†+ a Np+ 9 Np 1 Np Np— 1 1 1 1

Die beiden ersten Quotienten in dieser Determinante haben aber die Werthe x2 und x, es ist also ferner, da Np— 1, Np. Np+ 1 stets positiv,« und e ächte Brüche sind:

Yp 1. Yp Yp= 1 1N K=r= N NN. 3” ir-l Ne. NN=r Xr Xp 1— Xp Xp Xp 1

Np Np— 1 Np Np Np-— 1 4 41 1

Die Differenzen zwischen X2, x und ihren Näherungswerthen sind hier in einer Weise miteinander verbunden, dass man über die einzelnen Werthe derselben kein Urtheil gewinnt. Dividirt man jedoch die Gleichung: VP+ 1+‿a Yp+ Yp= 1 Yp— 1 Xp++«Xp+ 6XP= Xp h NpI+ Np+ 8 Np— 1 Np Np-— 1

nur durch Np-† 1+‿ Np+ 8 Np- 1, so erhält man:

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